[论文解读] Periodic solutions and the avoidance of pull--in instability in non--autonomous micro--electro--mechanical systems

Shirali Kadyrov, Ardak Kashkynbayev+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2020

Micro and Nano Robotics参考文献 27被引用 6

一句话总结

本文研究了在T周期电场激励下的非自治微机电系统（MEMS）中的周期解，证明了对于一般非线性刚度和石墨烯基弹簧，存在稳定T周期解及更高周期（nT，n>1）解。通过庞加莱映射和数值模拟，表明这些解周围具有较大的吸引域，可防止拉入失稳，显著扩展了MEMS器件在周期激励下的安全工作范围。

ABSTRACT

We study periodic solutions of a one-degree of freedom micro-electro-mechanical system (MEMS) with a parallel-plate capacitor under $T$--periodic electrostatic forcing. We obtain analytical results concerning the existence of $T-$ periodic solutions of the problem in the case of arbitrary nonlinear restoring force, as well as when the moving plate is attached to a spring fabricated using graphene. We then demonstrate numerically on a $T-$ periodic Poincar{\'e} map of the flow that these solutions are generally locally stable with large "islands" of initial conditions around them, within which the pull-in stability is completely avoided. We also demonstrate graphically on the Poincar{\'e} map that stable periodic solutions with higher period $nT, n>1$ also exist, for wide parameter ranges, with large "islands" of bounded motion around them, within which all initial conditions avoid the pull--in instability, thus helping us significantly increase the domain of safe operation of these MEMS models.

研究动机与目标

• 建立1D MEMS模型中具有任意非线性恢复力的T周期解存在的解析条件。
• 分析具有h(x)∝x|x|特性的石墨烯基MEMS振子中的T周期解。
• 通过数值方法证明周期为nT（n>1）的稳定周期轨道及其对应吸引域的存在性。
• 通过庞加莱映射分析识别出可避免拉入失稳的初始条件大区域。
• 通过识别具有大吸引域的稳定周期解，扩展MEMS的安全工作范围。

提出的方法

• 对带有T周期电压激励的MEMS系统所建模的二阶奇异ODE进行形式分析。
• 应用基本解析工具，证明一般h(x)下T周期解的存在性。
• 推导出具有h(x)∝x|x|的石墨烯基弹簧的解析结果。
• 使用T周期庞加莱映射对系统动力学进行数值积分，以可视化相空间结构。
• 在不同阻尼和频率条件下，计算T周期和nT周期轨道（n>1）的吸引域。
• 利用庞加莱映射可视化稳定周期轨道及其有界运动岛，尤其针对c≈6.3×10⁻³和ω=1.21的情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有T周期激励的非自治MEMS系统中，对于任意非线性刚度h(x)，在何种条件下存在T周期解？
• RQ2 T周期解的稳定性及其吸引域如何依赖于阻尼和激励频率等系统参数？
• RQ3 在相同参数区域内，是否存在周期为nT（n>1）的稳定周期解？它们是否能支持更大范围的有界运动区域？
• RQ4 高阶稳定轨道的存在是否能通过避免拉入失稳，显著扩展安全工作域？
• RQ5 小阻尼在塑造周期解的全局动力学和吸引域方面起什么作用？

主要发现

• T周期解存在于广泛的非线性刚度函数h(x)类别中，通常具有局部稳定性且吸引域较大。
• 对于具有h(x)∝x|x|的石墨烯基MEMS，严格的解析结果证实了T周期解的存在性，且与特定初始条件和参数值相关。
• 数值庞加莱映射分析揭示了具有大有界运动岛的稳定nT周期轨道（n>1），进一步扩展了安全工作域。
• 即使在小阻尼（c≈6.3×10⁻³）条件下，稳定的nT周期解依然存在，并能吸引大范围初始条件，避免拉入失稳。
• T周期和3T周期轨道的吸引域呈现出复杂且相互缠绕的螺旋结构，表明存在多个吸引子的共存。
• 在小耗散（c<<1）条件下，庞加莱映射原点处的中心T周期解成为全局吸引子，而稳定的nT轨道对附近初始条件仍具有效性。