[论文解读] Periodicity of Grover walks on distance-regular graphs

Yusuke Yoshie|arXiv (Cornell University)|May 20, 2018

graph theory and CDMA systems参考文献 4被引用 6

一句话总结

本文研究了在距离正则图上Grover演化的时间周期性，基于转移矩阵的有理特征值，建立了周期性的必要条件。本文全面刻画了周期性的汉明图与约翰逊图，并通过将谱分析扩展至直径≤4的一般距离正则图，为周期性强正则图的分类提供了新证明。

ABSTRACT

Characterizations graphs of some classes to induce periodic Grover walks have been studied for recent years. In particular, for the strongly regular graphs, it has been known that there are only three kinds of such graphs. Here, we focus on the periodicity of the Grover walks on distance-regular graphs. The distance-regular graph can be regarded as a kind of generalization of the strongly regular graphs and the typical graph with an equitable partition. In this paper, we find some classes of such distance-regular graphs and obtain some useful necessary conditions to induce periodic Grover walks on the general distance-regular graphs. Also, we apply this necessary condition to give another proof for the strong regular graphs.

研究动机与目标

• 刻画诱导周期性Grover演化的距离正则图，扩展已知的强正则图结果。
• 基于简单随机游走转移矩阵的有理特征值，推导周期性的必要条件。
• 利用谱性质与结构约束，对所有周期性汉明图与约翰逊图进行分类。
• 通过距离正则图的框架，为周期性强正则图的分类提供替代证明。
• 通过识别结构与谱约束，为直径≥3的周期性距离正则图的刻画建立基础。

提出的方法

• 利用图上简单随机游走转移矩阵T(G)的谱分析，推断Grover演化的周期性。
• 应用Grover演化算符所有特征值必须为单位根的条件，以保证周期性。
• 利用距离正则图的修正商矩阵Q̃的特征多项式，推导必要条件。
• 利用T(G)的特征值与单位根之间的关系，约束图的直径与结构。
• 对交数组(b_i, c_i, a_i)施加组合约束，以排除非周期性配置。
• 运用代数数论分析涉及特征值的表达式是否为整数，以强制有理化与整数条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些距离正则图支持周期性Grover演化，其必须满足何种结构约束？
• RQ2 转移矩阵T(G)的特征值需满足何种必要条件，才能确保Grover演化的周期性？
• RQ3 能否通过距离正则图的框架重新推导出周期性强正则图的分类？
• RQ4 汉明图H(d, q)的完整参数集(d, q)与约翰逊图J(n, k)的完整参数集(n, k)为何，可产生周期性Grover演化？
• RQ5 如何利用距离正则图的商矩阵谱性质来判断周期性？

主要发现

• 任何具有转移矩阵T(G)中理性特征值的距离正则图，其直径必须小于5，Grover演化才可能呈现周期性。
• 当且仅当(d, q) ∈ {(1,2), (1,3), (2,2), (3,3), (4,2)}时，汉明图H(d, q)是周期性的。
• 当且仅当(n, k) ∈ {(2,1), (3,1), (4,2)}时，约翰逊图J(n, k)是周期性的。
• 所有直径为2的周期性距离正则图被分类为C₅、K_{k,k}与K_{m,m,m}，其中k, m为正整数。
• 由修正商矩阵特征多项式导出的必要条件，使得周期性强正则图的分类可获得新证明。
• 对于直径d ≥ 3的情况，参数数量增加，完整分类更为复杂，需在当前必要条件之外引入额外约束。