[论文解读] Permutohedra, associahedra, and beyond

Alexander Postnikov|ArXiv.org|Jul 7, 2005

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 16被引用 33

一句话总结

本文引入了混合欧拉数作为广义排列多面体——由单纯形的闵可夫斯基和构成的多面体——的体积多项式和埃赫拉特多项式的系数，通过排列、二叉树和混合体积给出了组合公式。它建立了保持格点计数的广义排列多面体之间的对偶性，并将卡塔兰数和欧拉数推广到根系的范畴。

ABSTRACT

The volume and the number of lattice points of the permutohedron P_n are given by certain multivariate polynomials that have remarkable combinatorial properties. We give several different formulas for these polynomials. We also study a more general class of polytopes that includes the permutohedron, the associahedron, the cyclohedron, the Pitman-Stanley polytope, and various generalized associahedra related to wonderful compactifications of De Concini-Procesi. These polytopes are constructed as Minkowski sums of simplices. We calculate their volumes and describe their combinatorial structure. The coefficients of monomials in Vol P_n are certain positive integer numbers, which we call the mixed Eulerian numbers. These numbers are equal to the mixed volumes of hypersimplices. Various specializations of these numbers give the usual Eulerian numbers, the Catalan numbers, the numbers (n+1)^{n-1} of trees, the binomial coefficients, etc. We calculate the mixed Eulerian numbers using certain binary trees. Many results are extended to an arbitrary Weyl group.

研究动机与目标

• 开发一个统一的框架，使用多元多项式计算排列多面体及相关多面体的体积和格点计数。
• 通过超单纯形的混合体积产生的混合欧拉数，推广欧拉数和卡塔兰数。
• 将类型 A 根系的结果扩展到任意 Weyl 群，包括通过美妙紧化构造的广义关联单纯形。
• 建立保持格点数的广义排列多面体之间的对偶性。
• 通过 Cayley 技巧和埃赫拉特理论，将根多面体及其剖分与相关的广义排列多面体联系起来。

提出的方法

• 应用 Brion 公式，将排列多面体的体积表示为顶点之和，从而得到涉及排列下降集的公式。
• 将排列多面体表示为坐标单纯形的加权闵可夫斯基和，通过子集嵌套族推广至广义排列多面体。
• 使用 Bernstein 定理计算超单纯形的混合体积，以计算广义排列多面体的体积和埃赫拉特多项式。
• 将混合欧拉数定义为广义排列多面体体积多项式中的系数，并通过加权二叉树给出其组合解释。
• 应用 Cayley 技巧，将根多面体（原点与正根的凸包）的体积与关联广义排列多面体中的格点数联系起来。
• 使用 Todd 算子公式，通过变量 $ z_i $ 上的微分算子，将埃赫拉特多项式与体积多项式联系起来，尤其适用于 Delzant 多面体。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将排列多面体的体积和埃赫拉特多项式表示为具有组合解释的多元多项式？
• RQ2 广义排列多面体体积多项式中的系数具有何种组合意义，它们如何推广欧拉数和卡塔兰数？
• RQ3 超单纯形的混合体积如何与广义排列多面体的体积相关联，由此产生的混合欧拉数具有何种意义？
• RQ4 存在何种广义排列多面体之间的对偶性，能保持格点数量，且与根多面体剖分有何关联？
• RQ5 如何利用 Cayley 技巧和埃赫拉特理论将根多面体与广义排列多面体及其格点计数联系起来？

主要发现

• 正则排列多面体 $ P_n(n, n-1, \dots, 1) $ 的体积等于 $ n^{n-2} $，即 $ n $ 个顶点的标号树的数量。
• 在 $ P_n(n, n-1, \dots, 1) $ 中的格点数量等于 $ n $ 个标号顶点上的森林数量。
• 超单纯形 $ \Delta_{k,n} $ 的体积为欧拉数 $ A(n-1, k-1) $ 除以 $ (n-1)! $，这证实了拉普拉斯的经典结果。
• 混合欧拉数作为广义排列多面体体积多项式中的系数被定义，它推广了欧拉数、卡塔兰数、二项式系数以及 $ (n+1)^{n-1} $。
• 广义排列多面体的埃赫拉特多项式由其体积多项式通过将普通单项式幂替换为上升阶乘得到。
• 对于 Delzant 多面体，埃赫拉特多项式由对体积多项式应用 Todd 算子 $ \prod_{i=1}^N \mathrm{Todd}\left(\frac{\partial}{\partial z_i}\right) $ 得到。