[论文解读] Persistence under Weak Disorder of AC Spectra of Quasi-Periodic Schroedinger operators on Trees Graphs

Michael Aizenman, Simone Warzel|ArXiv.org|Apr 29, 2005

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文在弱随机紊乱下建立了径向树扩展的一维准周期性薛定谔算符中绝对连续（AC）谱的稳定性。通过存在具有非共振准动量的布洛赫-弗洛凯态，证明了当李亚普诺夫指数为零且准动量避开与移位算符谱相关的共振值时，AC谱保持不变。

ABSTRACT

We consider radial tree extensions of one-dimensional quasi-periodic Schroedinger operators and establish the stability of their absolutely continuous spectra under weak but extensive perturbations by a random potential. The sufficiency criterion for that is the existence of Bloch-Floquet states for the one dimensional operator corresponding to the radial problem.

研究动机与目标

• 研究在一维准周期性薛定谔算符的径向树扩展中，在弱随机紊乱下绝对连续（AC）谱的稳定性。
• 确定在引入弱、广延随机势时，AC谱保持稳定的条件。
• 建立投影薛定谔cocycle方程解的唯一性与AC谱持久性之间的联系。
• 表明非共振布洛赫-弗洛凯态的存在可确保在弱紊乱下谱的稳定性。
• 基于薛定谔cocycle的可约性和无共振准动量，提供一个谱稳定性的判据。

提出的方法

• 使用作用于 $\ell^2(\mathbb{T})$ 上的径向哈密顿量 ${\widehat{H}}(\theta)$，分析一维准周期性薛定谔算符的径向树扩展，其势能依赖于与根的距离。
• 通过每个顶点处独立同分布（iid）的随机势 $\lambda \omega_x$ 引入弱紊乱，形成扰动算符 ${\widehat{H}}_\lambda(\theta, \omega)$。
• 通过莫比乌斯变换 $\mathcal{A}(E,\theta)$ 应用投影薛定谔cocycle形式化，该变换将 $\gamma \mapsto U(\theta) - E - 1/\gamma$。
• 将解 $\Gamma(\theta) \in \mathbb{C}^+$ 的图在cocycle作用下不变作为AC谱稳定性的判据。
• 证明 $\mathbb{C}^+$ 中此类解的唯一性意味着谱稳定性，依赖于科潘诺夫算子的谱和本征函数分析。
• 证明存在一对具有非共振准动量 $\pm k$ 的共轭布洛赫-弗洛凯态，可确保cocycle方程的 $\mathbb{C}^+$-值解的唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一维准周期性薛定谔算符的径向树扩展中，其绝对连续谱在弱随机紊乱下在何种条件下保持稳定？
• RQ2 AC谱的稳定性与投影薛定谔cocycle方程在 $\mathbb{C}^+$ 中解的存在性和唯一性之间有何关系？
• RQ3 具有非共振准动量的布洛赫-弗洛凯态在确保弱紊乱下AC谱持久性方面起什么作用？
• RQ4 薛定谔cocycle能否被约化为常数，与投影cocycle方程的 $\mathbb{C}^+$-值解的唯一性相关联？
• RQ5 积分态密度 $n(E)$ 在AC谱中的能量上，避免共振值 $m \cdot \alpha \mod \mathbb{Z}$ 的程度如何？

主要发现

• 当一维准周期性薛定谔算符 $H(\theta)$ 存在一对布洛赫-弗洛凯态，其准动量为 $\pm k$，且满足 $|k|/\pi$ 不属于集合 $\{ (m \cdot \alpha) \mod \mathbb{Z} \, : \, m \in \mathbb{Z}^\nu \}$ 时，径向树扩展 ${\widehat{H}}(\theta)$ 的绝对连续谱在弱紊乱下保持不变。
• 投影薛定谔cocycle方程 $\mathcal{A}(E,\theta)\Gamma(\theta) = \Gamma(S\theta)$ 的 $\mathbb{C}^+$-值解的唯一性，等价于弱紊乱下AC谱的稳定性。
• 非共振准动量的条件确保了科潘诺夫算子 $\mathcal{S}$ 的关联本征函数不能是具有特征值 $\exp(\pm 2i|k|)$ 的非零本征函数，而该值位于 $\mathcal{S}$ 的谱之外，从而强制了解的唯一性。
• 对于具有迪奥封特频率向量 $\alpha$ 和光滑 $U$ 的准周期势，对几乎所有 $E \in \Sigma_{\rm ac}$，布洛赫-弗洛凯态的存在性得以保证，从而确保弱紊乱下的谱稳定性。
• 满足 $n(E) \equiv m \cdot \alpha \mod \mathbb{Z}$ 的能量集合是可数的，而 $\Sigma_{\rm ac}$ 具有正的勒贝格测度，因此几乎所有 $E \in \Sigma_{\rm ac}$ 都避开该共振条件。
• ${\widehat{H}}(\theta)$ 的AC谱在弱紊乱下是稳定的，其谱满足 $\sigma_{\rm ac}(\widehat{H}(\theta)) = \sqrt{K} \, \Sigma_{\rm ac}$，其中 $\Sigma_{\rm ac}$ 是 $\{ E : \gamma(E) = 0 \}$ 的本质闭包。