[论文解读] Persistent Homoclinic Orbits for Nonlinear Schroedinger Equation Under Singular Perturbation

Yanguang Charles Li|ArXiv.org|Jun 22, 2001

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 3被引用 19

一句话总结

本文通过结合Melnikov分析与不变流形理论，证明了在奇异摄动的立方非线性薛定谔方程中存在持久的同宿轨道。通过使用法式变换修正先前工作中存在的缺陷，并分析半群 $ e^{ ho t ho_x^2} $ 在 $ \rho = 0 $ 处的正则性，作者证明了当 $ \rho > 0 $ 足够小时，同宿轨道存在于参数空间 $ (\alpha, \beta, \omega) $ 中一个余维一的曲面上，且满足条件 $ \alpha\omega < \beta $，这些轨道渐近于一个鞍点解 $ Q_\rho $。该结果将先前的正则摄动结果推广到了谱间隙被破坏的奇异情形。

ABSTRACT

Existence of homoclinic orbits in the cubic nonlinear Schrödinger equation under singular perturbations is proved. Emphasis is placed upon the regularity of the semigroup $e^{\e t \pa_x^2}$ at $\e = 0$. This article is a substantial generalization of \cite{LMSW96}, and motivated by the effort of Dr. Zeng \cite{Zen00a} \cite{Zen00b}. The mistake of Zeng in \cite{Zen00b} is corrected with a normal form transform approach. Both one and two unstable modes cases are investigated.

研究动机与目标

• 解决在奇异摄动下立方非线性薛定谔方程中同宿轨道的存在性问题，此时由于谱间隙被破坏，标准不变流形理论失效。
• 通过采用法式变换处理奇异摄动项 $ \rho \partial_x^2 q $，纠正Dr. Zeng先前工作[8]中的错误。
• 建立半群 $ e^{\rho t \partial_x^2} $ 在 $ \rho = 0 $ 处的正则性，该性质控制了奇异极限下不变流形的正则性。
• 通过计算Melnikov积分与二阶距离函数，将Melnikov方法推广至奇异摄动情形，从而实现同宿轨道的检测。
• 刻画在何种参数 $ (\alpha, \beta, \omega) $ 下同宿轨道在小 $ \rho > 0 $ 时仍能持久存在，表明该参数集在参数空间中构成一个余维一的曲面。

提出的方法

• 采用两步法：首先在鞍点 $ Q_\rho $ 附近应用局部不变流形理论，随后进行全局Melnikov分析。
• 局部理论通过坐标变换 $ q = \sqrt{I} e^{i\theta} $ 将动力系统降为二维系统，从而分析不稳定纤维与中心稳定流形。
• 应用法式变换以处理在圆周 $ S_\omega $ 附近的共振动力，修正Zeng方法中的谱不匹配问题。
• 在可积极限下计算Melnikov向量，通过在 $ \rho $ 上的渐近展开获得高阶修正项。
• 通过评估第二个量 $ \tilde{d} $ 来检测稳定与不稳定流形的横截相交，推导出单个与双不稳定模态情形下的显式公式。
• 通过在方程组 $ M_k = 0 $ 与 $ \tilde{d} = 0 $ 上应用隐函数定理，得出在 $ (\alpha, \beta, \omega) $-空间中一个余维一的曲面作为主要结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 当摄动破坏了谱间隙时，奇异摄动的立方非线性薛定谔方程中同宿轨道是否仍能持久存在？
• RQ2 如何通过法式变换修正Zeng[8]对奇异摄动NLS分析中的错误，以确保不变流形构造的有效性？
• RQ3 半群 $ e^{\rho t \partial_x^2} $ 在 $ \rho = 0 $ 处的正则性在同宿轨道持久性中起什么作用？
• RQ4 Melnikov方法能否被推广至 $ \rho \partial_x^2 $ 不是低阶修正项的奇异摄动情形？
• RQ5 在 $ (\alpha, \beta, \omega) $ 参数空间中，同宿轨道存在的参数集合具有何种精确的几何与解析结构？

主要发现

• 对于任意 $ \rho \in (0, \rho_0) $，在参数空间 $ (\alpha, \beta, \omega) \in \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^+ $ 中存在一个余维一的曲面，使得同宿轨道存在。
• 同宿轨道渐近于鞍点解 $ Q_\rho $，其位置为 $ I = \omega^2 - \rho \frac{1}{2\omega} \sqrt{\beta^2 - \alpha^2 \omega^2} + \cdots $，$ \theta \in (0, \pi/2) $。
• 余维一曲面由方程组 $ M_k = 0 $ 与 $ \tilde{d} = 0 $ 隐式定义，且在单对模态与双对模态情形下导出了显式表达式。
• 在单对模态情形下，曲面由 $ \alpha = 1 / \kappa(\omega) $ 定义，其中 $ \kappa(\omega) $ 依赖于未扰动解及其导数的积分。
• 在双对模态情形下，曲面由 $ \alpha = 1 / \tilde{\chi}(\omega, \Delta\rho) $ 与 $ \beta = \beta(\omega, \Delta\rho) $ 定义，其中 $ \tilde{\chi} $ 与 $ \beta $ 以Melnikov积分与相位差表示。
• 分析表明，只要满足参数条件 $ \alpha\omega < \beta $ 与 $ \omega \in (1/2, 3/2)/S $，奇异摄动项 $ \rho \partial_x^2 q $ 并不会阻止同宿轨道的持久存在。