[论文解读] Perturbation theory for the matrix square root and matrix modulus

Marcus Carlsson|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2018

Matrix Theory and Algorithms参考文献 1被引用 5

一句话总结

本文推导了奇异情况下矩阵平方根与矩阵模的首阶扰动公式，将Daleckii-Krein定理扩展至非非奇异矩阵。引入基于Schur补的非线性首阶项，捕捉矩阵奇异时的主导行为，误差界为$O(\|E\|^{3/2})$，即使Fréchet可微性不成立，也能提供可计算且显式的近似。

ABSTRACT

We provide first order perturbation formulas for the matrix square root (in the positive semi-definite case) and the matrix modulus (in the general case). The results are new for singular matrices, and extend previously known Fréchet differentiability formulas provided by the Daleckii-Krein theorem.

研究动机与目标

• 将矩阵平方根与矩阵模的扰动理论扩展至奇异矩阵，因$t \mapsto \sqrt{t}$在$t=0$处不可微，标准Fréchet可微性失效。
• 在$A$奇异时，利用谱基中的Schur补分解，推导$\sqrt{A+E}$与$|A+E|$的显式首阶近似。
• 建立适用于$A \mapsto A^s$（$s > 1/3$）的一般框架，表明当$A$奇异时首阶项为非线性，但受限于明确定义的Schur补结构。
• 提供矩阵模扰动的可计算公式，将非线性分量分离为$|P_0 E P_0|$，其中$P_0$为$\ker A$上的投影，实现实际计算。

提出的方法

• 在$A$的谱基中，利用$E$的Schur补分解，推导$\sqrt{A+E}$在奇异情况下的首阶扰动公式，将线性Daleckii-Krein项替换为非线性但显式的表达式。
• 在非奇异情况下引入矩阵$[\sqrt{\cdot}, \alpha]_{i,j} = \frac{1}{\sqrt{\alpha_i} + \sqrt{\alpha_j}}$，并通过修改的Schur补结构推广至奇异情况。
• 应用Wihler不等式与矩阵平方根扰动理论，处理矩阵模$|A+E| = \sqrt{(A+E)^* (A+E)}$中的非线性项，将扰动分解为块形式。
• 使用谱分解$A = U \Lambda_\alpha U^*$，定义$\hat{E} = U^* E U$，并将$\hat{E}$划分为对应于$A$的非零与零特征值的块。
• 对$(A+E)^* (A+E)$的块矩阵形式应用定理3.1（$s > 1/3$时矩阵平方根的扰动），推导出误差为$O(\|E\|^{3/2})$的首阶近似，该误差界在奇异情况下为最优。
• 识别出$|A+E|$首阶项中唯一的非线性分量为$|P_0 E P_0|$，其中$P_0$为$\ker A$上的投影，使整个表达式可计算且结构清晰。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将矩阵平方根的首阶扰动理论扩展至奇异矩阵，此时标准Fréchet导数因$t \mapsto \sqrt{t}$在$t=0$处不可微而不存在？
• RQ2 当$A$奇异时，$\sqrt{A+E}$的首阶项结构为何？能否以可计算的非线性形式表达？
• RQ3 能否在奇异情况下对矩阵模$|A+E|$的扰动给出首阶近似，使其保持显式且可计算？
• RQ4 奇异矩阵的扰动展开中，误差界是否必然劣于$O(\|E\|^2)$？能否改进至$O(\|E\|^{3/2})$？
• RQ5 矩阵$A$的核在确定扰动的非线性分量中起何作用？能否将其分离为$|P_0 E P_0|$？

主要发现

• 对于奇异$A$，$\sqrt{A+E}$的首阶扰动为$\sqrt{A} + U(\Xi \circ \hat{E}_{\text{schur}})U^* + O(\|E\|^{3/2})$，其中$\Xi$为修正的核矩阵，$\hat{E}_{\text{schur}}$为$E$的Schur补，使该项为非线性但可计算。
• 矩阵平方根扰动的误差界为$O(\|E\|^{3/2})$，在奇异情况下为最优，优于因零点不可微而失效的$O(\|E\|^2)$界。
• $|A+E|$的首阶近似为$|A| + V(\Xi_{\sigma}^\alpha \circ \hat{Z})V^* + O(\|Z\|^{3/2})$，其中非线性分量被限制在$|P_0 E P_0|$，$P_0$为$\ker A$上的投影，实现显式计算。
• 该理论可推广至$A \mapsto A^s$（所有$s > 1/3$），当$\ker A \neq \{0\}$时，首阶项$L(E)$为非线性，但仍可通过Schur补计算。
• 矩阵模扰动中的非线性项仅来自$|P_0 E P_0|$，其余扰动在Schur补结构下为线性，解释了无限维空间中无界性的原因。
• 该结果通过提供奇异情况下矩阵模的明确、显式且可计算的首阶近似，解决了矩阵扰动理论中长期存在的问题，即使在无限维空间中Lipschitz连续性失效。