[论文解读] Perverse sheaves on Grassmannians, Springer fibres and Khovanov homology

Catharina Stroppel|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用 20

一句话总结

本文建立了gl(n,C)的极大抛物子代数的抛物型O类中主块的中心与相应Springer纤维上同调环之间的自然同构。它为该类提供了图解描述，并将Khovanov代数H^n识别为格拉斯曼流形上 perverse sheaves 类中某一特定对象的自同态环，从而将Khovanov同调实现为来自O类的更一般函子不变量的限制。

ABSTRACT

For a fixed parabolic subalgebra p of gl(n,C) we prove that the centre of the principal block O(p) of the parabolic category O is naturally isomorphic to the cohomology ring of the corresponding Springer fibre. We give a diagrammatic description of O(p) for maximal parabolic p and give an explicit isomorphism to Braden's description of the category Perv_B(G(n,n)) of perverse sheaves on Grassmannians. As a consequence Khovanov's algebra H^n is realised as the endomorphism ring of some object from Perv_B(G(n,n)) which corresponds under localisation and the Riemann-Hilbert correspondence to a full projective-injective module in the corresponding category $O(p)$. From there one can deduce that Khovanov's tangle invariants are obtained from the more general functorial invariants involving category O by restriction.

研究动机与目标

• 建立抛物型O类中主块的中心与相应Springer纤维上同调环之间的自然同构。
• 为极大抛物子代数p的O(p)类提供图解描述。
• 将Khovanov代数H^n实现为格拉斯曼流形上 perverse sheaves 类中某一特定对象的自同态环。
• 表明Khovanov的纽结不变量作为来自O类的更一般函子不变量的限制而出现。

提出的方法

• 利用gl(n,C)的表示理论分析固定抛物子代数p的主块O(p)的结构。
• 利用Springer纤维的几何性质，将它们的上同调环与O(p)的中心联系起来。
• 通过与极大抛物子代数相关的组合结构，构建O(p)的图解模型。
• 应用Braden对格拉斯曼流形上 perverse sheaves 的描述，建立O(p)中的对象与Perv_B(G(n,n))中对象之间的对应关系。
• 利用Riemann-Hilbert对应关系，将O(p)中的投射-内射模与格拉斯曼流形上的 perverse sheaves 联系起来。
• 建立Khovanov代数H^n与Perv_B(G(n,n))中某一特定对象的自同态环之间的同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 主块O(p)的中心与Springer纤维的上同调之间有何关系？
• RQ2 能否对极大抛物子代数p的O(p)类进行图解描述？
• RQ3 Khovanov代数H^n在格拉斯曼流形上 perverse sheaves 的几何实现是什么？
• RQ4 Khovanov的纽结不变量如何与来自O类的函子不变量相关联？
• RQ5 Riemann-Hilbert对应关系在连接O类与格拉斯曼流形上的 perverse sheaves 中起什么作用？

主要发现

• 主块O(p)的中心与相应Springer纤维的上同调环之间存在自然同构。
• 为极大抛物子代数p的O(p)类构建了图解描述，其与Braden对格拉斯曼流形上 perverse sheaves 的描述相匹配。
• Khovanov代数H^n被实现为格拉斯曼流形上 perverse sheaves 类Perv_B(G(n,n))中某一特定对象的自同态环。
• 该对象在局部化和Riemann-Hilbert对应关系下，对应于O(p)中的一个完整投射-内射模。
• Khovanov的纽结不变量作为通过O类定义的更一般函子不变量的限制而得到。
• 几何与范畴结构通过Springer理论和 perverse sheaves，统一了Khovanov同调与表示理论及代数几何。