[论文解读] Phase retrieval: an overview of recent developments

Kishore Jaganathan, Yonina C. Eldar+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2016

X-ray Diffraction in Crystallography参考文献 74被引用 124

一句话总结

本文全面综述了近期在相位恢复领域的进展，涵盖经典与现代方法，包括稀疏恢复、基于掩码的方法以及短时傅里叶变换（STFT）技术。它整合了理论唯一性结果、Wirtinger Flow与半定规划（SDP）等算法发展，以及数值验证，为光学、信号处理和计算成像领域的研究人员提供了一套统一的参考。

ABSTRACT

Contents Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264Classic Approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Recent Approaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266Sparse Phase Retrieval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269 Algorithms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Numerical Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273Phase Retrieval Using Masks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Uniqueness and Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275SDP Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 Wirtinger Flow Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 Combinatorial Methods (for the Noiseless Setting) . . . . . . . . . . . . . . . . 278Numerical Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 STFT Phase Retrieval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Nonvanishing Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 Sparse Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285Algorithms. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 Numerical Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 Acknowledgments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292Introduction In many physical measurement systems, one can only measure the power spectral density, that is, the magnitude square of the Fourier transform of the underlying signal. For example, in an optical setting, detection devices like CCD cameras and photosensitive films cannot measure the phase of a light wave and instead measure the photon flux. In addition, at a large enough distance from the imaging plane the field is given by the Fourier transform of the image (up to a known phase factor). Thus, in the far field, optical devices essentially measure the Fourier transform magnitude. Since the phase encodes a lot of the structural content of the image, important information is lost. The problem of reconstructing a signal from its Fourier magnitude is known as phase retrieval [1,2]. This reconstruction problem is one with a rich history and arises in many areas of engineering and applied physics, including optics [3], x-ray crystallography [4], astronomical imaging [5], speech processing [6], computational biology [7], and blind deconvolution [8].

研究动机与目标

• 整合并分析相位恢复在多样化科学与工程应用中的最新理论与算法进展。
• 解决从仅傅里叶变换的幅度中重建信号这一基本挑战，该问题出现在光学、晶体学和语音处理中。
• 研究在稀疏信号与非零信号设定下唯一恢复可能的条件。
• 评估现代算法（如Wirtinger Flow与基于SDP的求解器）的性能与收敛特性。
• 通过在无噪声与有噪声环境下的数值模拟，系统性地比较各类方法。

提出的方法

• 回顾基于迭代投影与误差减少算法的经典相位恢复技术。
• 通过引入ℓ1正则化，提出稀疏相位恢复方法，以利用变换域中的信号稀疏性。
• 分析基于掩码的相位恢复，其中使用多个编码掩码生成额外测量，以提升唯一性。
• 应用半定规划（SDP）松弛方法，将非凸相位恢复问题转化为凸优化问题。
• 采用Wirtinger Flow算法，一种具有理论收敛保证的非凸优化方法，其在特定条件下表现良好。
• 考虑组合方法在无噪声相位恢复中的应用，利用代数与图论结构实现精确恢复。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，相位恢复问题可唯一求解，特别是在稀疏或非零信号情况下？
• RQ2 现代算法（如Wirtinger Flow与基于SDP的求解器）在收敛速度与抗噪声能力方面如何比较？
• RQ3 编码掩码在提升相位恢复中的唯一性与稳定性方面发挥何种作用？
• RQ4 信号模型的选择（如稀疏、非零）如何影响相位恢复算法的性能？
• RQ5 STFT域中相位恢复的理论与经验极限是什么？与基于傅里叶的方法相比有何差异？

主要发现

• 对于非零信号，或在测量系统具有足够非相干性的稀疏信号，相位恢复的唯一性在较弱条件下即可保证。
• Wirtinger Flow算法在适当的采样条件下，以高概率实现对真实信号的全局收敛。
• 基于SDP的方法在无噪声情况下可实现精确恢复，在有噪声情况下可实现稳定恢复，但计算成本较高。
• 基于掩码的相位恢复通过在测量中引入结构化多样性，显著提升了唯一性并减少了歧义。
• 数值模拟证实，稀疏相位恢复方法在低信噪比环境下优于传统方法。
• 基于STFT的相位恢复可实现对时频局部化信号的恢复，尤其在结合稀疏性约束时，鲁棒性得到提升。