[论文解读] Phase transitions on the Toeplitz algebras of Baumslag-Solitar semigroups

Lisa Orloff Clark, Astrid an Huef+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2015

Advanced Operator Algebra Research参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文研究了与 Baumslag-Solitar 半群相关联的 Toeplitz 代数的 KMS（Kubo-Martin-Schwinger）态中的相变。通过在 Toeplitz 代数上定义一个自然的 R-作用的动力系统，作者证明：当逆温度 β > ln d 时，KMS 态构成一个由圆上的概率测度参数化的单纯形；在临界逆温度 β = ln d 时，当 d 不整除 c 时发生相变，单纯形坍缩为单点。在无限温度（基态）时，存在多个非等价的基态，它们并非有限温度 KMS 态的极限。

ABSTRACT

Spielberg has recently shown that Baumslag-Solitar groups associated to pairs of positive integers are quasi-lattice ordered in the sense of Nica. Thus they have tractable Toeplitz algebras. Each of these algebras carries a natural dynamics. Here we construct the equilibrium states (the KMS states) for these dynamics. For inverse temperatures larger than a critical value, there is a large simplex of KMS states parametrised by probability measures on the unit circle. At the critical value, and under a mild hypothesis, there is a phase transition in which this simplex collapses to a singleton. There is a further phase transition at infinity, in the sense that there are many ground states which cannot be realised as limits of KMS states with finite inverse temperatures.

研究动机与目标

• 分析与 Baumslag-Solitar 半群 BS(c,d) 相关的 Toeplitz 代数的 KMS 态，特别是在自然 R-作用下的情况。
• 确定在不同逆温度 β 下平衡态（KMS 态）的结构。
• 研究在临界逆温度 β = ln d 处的相变，以及在无限温度极限（基态）下的行为。
• 阐明条件“d 不整除 c”在决定 β = ln d 处相变性质中的作用。
• 识别系统的基态，并证明它们并非有限逆温度下 KMS 态的极限。

提出的方法

• 将 Toeplitz 代数 T(P) 构造为半群 P = ⟨a,b | ab^c = b^d a⟩ 在 ℓ²(P) 上的左正则表示生成的 C*-代数。
• 通过规范作用定义 T(P) 上的自然 R-作用 α，将圆作用提升为 C*-代数上的动力系统。
• 通过涉及生成元乘积 T_x T_y* 的交换关系表征 KMS 态。
• 利用由 b 生成的子群的诱导酉表示，为 β > ln d 构造 KMS 态，限制在不变子空间上。
• 通过证明当 d ∤ c 时，β = ln d 处的 KMS 态单纯形坍缩为单点，分析临界逆温度 β = ln d。
• 通过等距表示直接构造基态，而不依赖于通过公共商的因式分解，因为后者不成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 Baumslag-Solitar 半群 BS(c,d) 的 Toeplitz 代数，在逆温度 β > ln d 时，KMS 态的结构是什么？
• RQ2 β = ln d 处的相变如何依赖于数论条件“d 不整除 c”？
• RQ3 是否存在无法作为有限逆温度下 KMS 态极限的基态？
• RQ4 边界商在临界和无限逆温度下的 KMS 结构中起什么作用？
• RQ5 给定基态无法通过公共商因式分解，是否可以不使用诱导表示来构造它们？

主要发现

• 当 β > ln d 时，KMS 态的集合构成一个由单位圆上概率测度参数化的单纯形。
• 在临界逆温度 β = ln d 时，当 d 不整除 c 时，单纯形坍缩为单点，表明发生了相变。
• 当 d 整除 c 时，β = ln d 处存在多个 KMS 态，说明相变仅在条件 d ∤ c 下才是尖锐的。
• 在 β = ln d 处的唯一 KMS 态通过半群的边界商因子化，该边界商是一个 Kirchberg 代数。
• 存在多个基态（KMS∞ 态），它们并非有限逆温度下 KMS 态的极限，表明在无穷远处存在一个独立的相。
• Toeplitz 代数通过左正则表示忠实表示，其核心 C*-代数由按正规形式长度索引的子空间的并集生成。