[论文解读] Pictures of Processes: Automated Graph Rewriting for Monoidal Categories and Applications to Quantum Computing

Aleks Kissinger|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2012

Scientific Computing and Data Management参考文献 57被引用 44

一句话总结

本文提出字符串图作为幺半群范畴中弦图的离散、计算上可行的形式化方法，支持自动化的双推导图重写。它为构建自由对称迹和紧闭范畴奠定了基础，并通过使用!-框和归纳推理，将该框架应用于量子计算，对强互补可观测量进行分类，并发展了多体纠缠的图形理论。

ABSTRACT

This work is about diagrammatic languages, how they can be represented, and what they in turn can be used to represent. More specifically, it focuses on representations and applications of string diagrams. String diagrams are used to represent a collection of processes, depicted as "boxes" with multiple (typed) inputs and outputs, depicted as "wires". If we allow plugging input and output wires together, we can intuitively represent complex compositions of processes, formalised as morphisms in a monoidal category. [...] The first major contribution of this dissertation is the introduction of a discretised version of a string diagram called a string graph. String graphs form a partial adhesive category, so they can be manipulated using double-pushout graph rewriting. Furthermore, we show how string graphs modulo a rewrite system can be used to construct free symmetric traced and compact closed categories on a monoidal signature. The second contribution is in the application of graphical languages to quantum information theory. We use a mixture of diagrammatic and algebraic techniques to prove a new classification result for strongly complementary observables. [...] We also introduce a graphical language for multipartite entanglement and illustrate a simple graphical axiom that distinguishes the two maximally-entangled tripartite qubit states: GHZ and W. [...] The third contribution is a description of two software tools developed in part by the author to implement much of the theoretical content described here. The first tool is Quantomatic, a desktop application for building string graphs and graphical theories, as well as performing automated graph rewriting visually. The second is QuantoCoSy, which performs fully automated, model-driven theory creation using a procedure called conjecture synthesis.

研究动机与目标

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• 开发一种离散、计算上可处理的弦图形式化方法，支持自动重写，同时保持其直观的图形结构。
• 将该形式化方法应用于量子信息理论，特别是用于分类纠缠和互补可观测量。
• 通过猜想生成和在模式图上使用Knuth-Bendix完成法，实现图形恒等式的自动发现。
• 通过与自然数表达式绑定的!-框，将图形推理扩展至归纳证明。

提出的方法

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• 引入字符串图为部分粘合范畴，以支持双推导图重写。
• 定义字符串图上的余链以建模过程复合与重写。
• 使用重写范畴，从幺半群签名构造自由对称迹和紧闭范畴。
• 使用!-框表示图的无限族，并支持对它们的归纳推理。
• 将猜想生成和Knuth-Bendix完成法适配到字符串图环境，以实现自动规则生成。
• 引入一种使用图语法的元重写系统，以描述比正则表达式更丰富的语言。

实验结果

研究问题

• RQ1 .
• RQ2 如何形式化弦图，使其在保持直观图形结构的同时支持自动重写？
• RQ3 如何通过字符串图，利用幺半群签名构建自由对称迹和紧闭范畴的范畴基础？
• RQ4 如何使用图形语言对量子力学中的多体纠缠和强互补可观测量进行分类？
• RQ5 能否将自动猜想生成扩展到使用模式图和!-框的图形理论？
• RQ6 能否通过结构化规则应用和推理规则，在图形语言中形式化归纳推理？

主要发现

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• 字符串图构成一个部分粘合范畴，支持图形语言的严格双推导重写。
• 该框架通过余链和重写系统，支持从幺半群签名构造自由对称迹和紧闭范畴。
• 在维度D中，强互补可观测量的最大集合大小至多为2，且与阶为D的阿贝尔群之间存在一一对应。
• !-框的使用可紧凑表示无限多图形恒等式，并支持对它们的归纳推理。
• 结合猜想生成和Knuth-Bendix完成法的模式图重写，可生成更强、更通用的重写规则，减少搜索空间并提升自动化程度。
• 提出一种新的!-框归纳推理规则，可推导出仅通过等式完成法无法发现的新恒等式。