[论文解读] Piecewise Divergence-Free $H( extrm{div})$-Nonconforming Virtual Elements for Stokes Problem in Any Dimensions

Huayi Wei, Xuehai Huang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 24被引用 1

一句话总结

该论文提出了一种在任意维数下适用于Stokes问题的新型无散度、非协调虚拟元方法，采用$H(\textrm{div})$-协调框架。通过引入一个与散度算子可交换的局部能量投影算子，并确保在核空间上稳定化范数等价，该方法在严格的误差分析下实现了最优收敛率，包括离散inf-sup稳定性。

ABSTRACT

Piecewise divergence-free $H( extrm{div})$-nonconforming virtual elements are designed for Stokes problem in any dimensions. After introducing a local energy projector based on the Stokes problem and the stabilization, a divergence-free nonconforming virtual element method is proposed for Stokes problem. A detailed and rigorous error analysis is presented for the discrete method, including the norm equivalence of the stabilization on the kernel of the local energy projector, the interpolation error estimate, the discrete inf-sup condition, and the optimal error estimate of the discrete method. An important property in the analysis is that the local energy projector commutes with the divergence operator. A reduced virtual element method is also discussed. Numerical results are provided to verify the theoretical convergence.

研究动机与目标

• 开发一种稳定、非协调的虚拟元方法用于Stokes问题，以强制实现分片无散度的速度逼近。
• 建立一个与散度算子可交换的局部能量投影算子，以实现对核空间的精确逼近。
• 证明局部能量投影算子核空间上稳定化项的范数等价性，从而确保方法的稳定性。
• 通过插值与离散inf-sup条件推导速度与压力逼近的最优误差估计。
• 将该框架扩展至简化虚拟元格式，以提升计算效率。

提出的方法

• 基于Stokes问题构造一个局部能量投影算子，将虚拟元函数投影到无散度子空间上。
• 设计稳定化项，使其在局部能量投影算子的核空间上与能量范数等价，从而确保稳定性。
• 采用具有$H(\textrm{div})$-协调自由度的非协调虚拟元空间，以强制实现弱无散度条件。
• 通过投影算子与散度算子可交换的性质，证明了离散inf-sup条件。
• 离散格式中引入了一致的稳定化项，使得无需显式了解基函数即可计算双线性形式。
• 通过消除部分自由度，提出一种简化虚拟元变体，从而在保持收敛性的同时简化系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种非协调虚拟元方法，使得在任意维数下速度逼近严格无散度？
• RQ2 局部能量投影算子是否与散度算子可交换？该性质如何影响方法的稳定性与收敛性？
• RQ3 稳定化项在局部能量投影算子的核空间上是否与能量范数等价？
• RQ4 离散方法中速度与压力逼近的最优收敛率是多少？
• RQ5 能否推导出一种简化虚拟元格式，在降低计算成本的同时保持最优收敛率？

主要发现

• 局部能量投影算子与散度算子可交换，这一关键性质使得无散度虚拟元的构造成为可能。
• 证明了稳定化项在局部能量投影算子核空间上的范数等价性，从而确保了最优稳定性。
• 建立了速度与压力逼近的最优误差估计，其阶数为$h^k$，其中$k$为虚拟元空间的多项式次数。
• 证明了离散inf-sup条件成立，从而保证了离散问题的适定性。
• 简化虚拟元方法在减少自由度数量的同时，保持了最优收敛率。
• 数值结果验证了标准格式与简化格式的理论收敛速率。