[论文解读] PiTP Lectures on Complexity and Black Holes

Leonard Susskind|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2018

Advanced Mathematical Theories and Applications被引用 6

一句话总结

本文引入了相对量子复杂度作为K量子比特希尔伯特空间中的基本几何度量，与标准的Fubini-Study度量形成对比。它表明，复杂度随时间线性增长，直至达到最大指数值，之后由于量子递归而保持在近平衡状态，形成类似于热力学的复杂度第二定律。

ABSTRACT

This is the first of three PiTP lectures on complexity and its role in black hole physics.

研究动机与目标

• 定义并分析相对量子复杂度作为希尔伯特空间中与Fubini-Study度量不同的几何度量。
• 研究作用于K量子比特的幺正算符空间中复杂度的演化，特别是在量子线路背景下的行为。
• 建立类似于热力学第二定律的量子复杂度第二定律，其驱动力为可访问态的指数增长。
• 将复杂度与黑洞内部物理联系起来，论证复杂度在事件视界之后变得基本。
• 证明复杂度是不连续的，并表现出突然转变，类似于图模型中的一级相变。

提出的方法

• 使用Fubini-Study度量定义量子态之间标准内积距离，其取值范围在0到π/2之间。
• 引入相对复杂度作为将一个幺正算符变换为另一个所需的基本门（如CNOT门和单量子比特门）的最小数量。
• 将幺正算符空间建模为图，其中节点为幺正算符，边代表单个门操作，复杂度定义为与单位元的图距离。
• 通过ε-球进行粗粒化，以计数CP(2^K - 1)中的态，导致对调节参数ε的对数依赖性。
• 使用幺正群上的随机游走分析系综平均复杂度，表明复杂度线性增长直至达到最大复杂度。
• 推导出复杂度返回低值的复发时间，估计为t_recur ~ exp(exp(K))，表明其为双指数时间尺度。

实验结果

研究问题

• RQ1 相对量子复杂度与标准Fubini-Study度量在测量量子态之间距离时有何不同？
• RQ2 在K量子比特系统中，量子复杂度随时间的增长行为如何，其饱和点出现在何时？
• RQ3 为何复杂度会从线性增长突然转变为平衡状态，这与图论中的碰撞有何关联？
• RQ4 复杂度的第二定律如何从应用于量子线路的统计力学原理中涌现？
• RQ5 复杂度在描述黑洞内部时起什么作用，为何其在de Sitter型宇宙学中是基本的？

主要发现

• 相对复杂度随时间线性增长，直至达到约4^K的数量级最大值，之后由于极大复杂度态的庞大数量而保持近似恒定。
• 复杂度返回低值的复发时间对K呈双指数增长，估计为t_recur ~ exp(4^K)，使得此类返回在实际中不可观测。
• 复杂度具有不连续性：当达到最大复杂度后，若出现更短路径（如图中的绿色轨迹），复杂度可突然下降。
• 系综平均复杂度遵循第二定律：其单调递增直至饱和，与热力学第二定律相类似。
• 复杂度的几何结构具有负曲率且曲率半径较小，与Fubini-Study度量的正曲率形成鲜明对比。
• 当K=4且ε=1/2时，CP(2^K - 1)中的ε-球数量约为1.07×10^9，证实了其对K的指数敏感性以及对ε的微弱依赖性。