[论文解读] Plücker varieties and higher secants of Sato's Grassmannian

Jan Draisma, Rob H. Eggermont|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2014

Tensor decomposition and applications参考文献 15被引用 10

一句话总结

本文引入了普吕克流形——外代数中满足函子性与对偶兼容性的子簇族——并证明有界普吕克流形由度数统一有界的多项式方程定义，且该度数与基向量空间无关。关键结果表明，格拉斯曼流形的高阶弦切曲面，包括佐藤的格拉斯曼流形，可通过无限楔空间中的极限构造，由有限个 $G_\infty$-轨道的方程集有限生成，从而在成员资格判定方面具有算法意义。

ABSTRACT

Every Grassmannian, in its Plücker embedding, is defined by quadratic polynomials. We prove a vast, qualitative, generalisation of this fact to what we call Plücker varieties. A Plücker variety is in fact a family of varieties in exterior powers of vector spaces that, like the Grassmannian, is functorial in the vector space and behaves well under duals. A special case of our result says that for each fixed natural number k, the k-th secant variety of any Plücker-embedded Grassmannian is defined in bounded degree independent of the Grassmannian. Our approach is to take the limit of a Plücker variety in the dual of a highly symmetric space known as the infinite wedge, and to prove that up to symmetry the limit is defined by finitely many polynomial equations. For this we prove the auxilliary result that for every natural number p the space of p-tuples of infinite-by-infinite matrices is Noetherian modulo row and column operations. Our results have algorithmic counterparts: every bounded Plücker variety has a polynomial-time membership test, and the same holds for Zariski-closed, basis-independent properties of p-tuples of matrices.

研究动机与目标

• 将普吕克流形的形式化与研究作为外代数中满足函子性与对偶兼容性的子簇族。
• 将经典事实（格拉斯曼流形由二次普吕克关系定义）推广至更广泛的流形类。
• 证明普吕克嵌入格拉斯曼流形的高阶弦切曲面由度数统一有界的多项式方程定义，且该度数与维数无关。
• 为有界普吕克流形建立多项式时间内的成员资格判定算法。
• 探讨矩阵元组在行与列操作下的诺特性，作为主要结果的基础工具。

提出的方法

• 将普吕克流形定义为满足函子性与对偶公理的 $\bigwedge^p V$ 中的闭子簇族。
• 引入普吕克流形在无限楔空间的对偶 $({\bigwedge}^{\infty/2} V_\infty)^*$ 中的极限，以捕捉该族的渐近行为。
• 利用 $p$-元组无限矩阵在行与列操作下的诺特性，证明任一有界普吕克流形的极限由有限个 $G_\infty$-轨道的多项式方程定义。
• 利用极限构造证明，普吕克流形的高阶弦切曲面仍是普吕克流形，且其定义方程源于一组有限基方程的拉回。
• 利用无限极限的对称性，将定义方程问题简化为有限个轨道，从而实现有界度数结果。
• 应用矩阵元组的诺特性，以确立定义方程的有限性，并构造多项式时间内的成员资格判定算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将定义格拉斯曼流形的古典普吕克关系推广至一类更广的流形，其定义方程具有统一有界的度数？
• RQ2 任意格拉斯曼流形 $\operatorname{Gr}(p,V)$ 的第 $k$ 个弦切曲面是否由度数统一有界的多项式方程定义，且该度数与 $p$ 和 $\dim V$ 无关？
• RQ3 有界普吕克流形在无限楔空间中的极限是否由有限个 $G_\infty$-轨道的方程定义？
• RQ4 在输入张量以非稀疏编码表示的前提下，能否在多项式时间内测试其是否属于任一有界普吕克流形？
• RQ5 是否存在关于 $p$-元组无限矩阵在行与列操作下的诺特性结果，足以证明定义方程的有限性？

主要发现

• 对任意有界普吕克流形 $\mathbf{X}$，存在 $p_0$ 与 $V_0$，使得所有实例 $\mathbf{X}_p(V)$ 均由 $\mathbf{X}_{p_0}(V_0)$ 中方程的拉回定义，从而保证定义方程的有界度数。
• 任意格拉斯曼流形 $\operatorname{Gr}(p,V)$ 的第 $k$ 个弦切曲面由度数至多为 $d$ 的多项式方程定义，其中 $d$ 仅依赖于 $k$，而与 $p$ 或 $\dim V$ 无关。
• 有界普吕克流形在无限楔空间中的极限由有限个 $G_\infty$-轨道的多项式方程定义，从而实现统一描述。
• 存在一种多项式时间算法，用于测试任一有界普吕克流形中的成员资格，当基域为 $\mathbb{Q}$ 或数域时，其位复杂度为多项式。
• $p$-元组无限矩阵空间在行与列操作下是诺特的，这是主要定理的关键辅助结果。
• 佐藤格拉斯曼流形的高阶弦切曲面可由有限个 $G_\infty$-轨道的方程集有限生成，且极限构造与取弦切曲面运算可交换。