[论文解读] Plancherel Formulae associated to Filtrations of Nilpotent Lie Groups

Joseph A. Wolf|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文为配备有子群过滤结构、且其子群允许平方可积（相对离散系）表示的幂零李群，发展了一种广义的Plancherel公式。通过在李代数的分层分解基础上构造逐层平方可积表示，作者推导出显式的特征标与Plancherel公式，并将其应用于实半单李群的最小抛物子群的幂零根，以及紧致商空间 $N/\Gamma$，从而得到正则表示的重数公式。

ABSTRACT

We study the conditions for a nilpotent Lie group to be foliated into subgroups that have square integrable (relative discrete series) unitary representations, that fit together to form a filtration by normal subgroups. Then we use that filtration to construct a class of "stepwise square integrable" representations on which Plancherel measure is concentrated. Further, we work out the character formulae for those stepwise square integrable representations, and we give an explicit Plancherel formula. Next, we use some structure theory to check that all these constructions and results apply to nilradicals of minimal parabolic subgroups of real reductive Lie groups. Finally, we develop multiplicity formulae for compact quotients $N/Γ$ where $Γ$ respects the filtration.

研究动机与目标

• 将幂零李群平方可积表示的理论从单个表示扩展至基于过滤的分层框架。
• 通过具有平方可积子表示的正规子群过滤，构造一类‘逐层平方可积’的酉表示。
• 为这些表示推导显式的特征标公式与完整的Plancherel测度分解。
• 验证该构造适用于实半单李群中最小抛物子群的幂零根。
• 当 $\Gamma$ 尊重过滤结构时，推导紧致尼尔曼ifold $N/\Gamma$ 上正则表示的分解重数公式。

提出的方法

• 本文使用李代数 $\mathfrak{n}$ 的过滤结构 $\mathfrak{n}_1 \subset \cdots \subset \mathfrak{n}_{[\ell/2]} = \mathfrak{n}$，其中每个商代数 $\mathfrak{m}_r = \mathfrak{n}_r / \mathfrak{n}_{r-1}$ 同构于一个海森堡代数。
• 对于每一层 $\mathfrak{m}_r$，由反对称形式 $b_\lambda(x,y) = \lambda([x,y])$ 的Pfaffian $\mathrm{Pf}(\lambda)$ 决定表示 $\pi_\lambda$ 的平方可积性。
• 通过利用过滤结构与 $\mathfrak{n}/\mathfrak{z}$ 上形式 $b_\lambda$ 的非退化性，递归地从子代数 $\mathfrak{m}_r$ 的Plancherel公式合成全群的Plancherel测度。
• 该方法首先在上三角矩阵情形下进行说明，通过矩阵基 $e_{i,j}$ 及其李括积显式计算出海森堡型层的分解。
• 通过根系分析验证，该理论可推广至最小抛物子群的幂零根。
• 对于紧致商空间 $N/\Gamma$，利用过滤分析 $L^2(N/\Gamma)$ 上的正则表示，推导出逐层平方可积表示的重数公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从具有平方可积表示的子群过滤中重构幂零李群的Plancherel公式？
• RQ2 何种条件可确保幂零李群存在一个过滤，使得每一级商代数均为海森堡型代数且具有平方可积表示？
• RQ3 全群的特征标与Plancherel测度能否从子过滤结构的数据中显式计算？
• RQ4 该构造是否适用于实半单李群中最小抛物子群的幂零根？
• RQ5 当离散共(compact)子群 $\Gamma$ 尊重过滤结构时，在 $L^2(N/\Gamma)$ 上正则表示的分解中会导出何种重数公式？

主要发现

• 本文通过将幂零李群 $N$ 的李代数分解为同构于海森堡代数的理想的过滤结构，构造了一类‘逐层平方可积’的酉表示。
• 通过将每一层 $\mathfrak{m}_r$ 上子表示 $\pi_\lambda$ 的Plancherel测度组合，推导出显式的Plancherel公式，其中每一阶段的密度与 $|\mathrm{Pf}(\lambda)|$ 成正比。
• 该构造适用于实半单李群中任意最小抛物子群的幂零根，通过第6节的根系分析得到验证。
• 对于紧致商空间 $N/\Gamma$，正则表示 $\mathrm{Ind}_\Gamma^N(1_\Gamma)$ 分解为不可约分量，且每个逐层平方可积表示的重数被显式计算。
• 本文通过使用 $r=1,2,3,5$ 时的 $\Delta^+_r$ 集，对引理6.8中的根系条件进行了直接计算验证，确认了上三角情形下过滤结构的成立。
• 逐层平方可积表示的特征标公式以Pfaffian与过滤结构为依据推导得出，推广了海森堡群的经典特征标公式。