[论文解读] Poisson approximation for the number of visits to balls in nonuniformly hyperbolic dynamical systems

Jean-René Chazottes, Pierre Collet|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用 12

一句话总结

本文为具有指数尾部返回时间与一维不稳定流形的非一致双曲动力系统（以Young塔模型化）中，对小球内访问次数建立了Poisson近似。通过利用相关系数的指数衰减性与Besicovitch覆盖引理的几何估计，证明了对于典型中心，时间 $ t / \mu(B_r(x)) $ 内的访问次数收敛于Poisson分布，且误差界明确为 $ r^a $ 阶，而‘坏’中心集合的 $ \mu $-测度 $ \leq C r^b $。该结果适用于Hénon吸引子、扩散散射波等系统。

ABSTRACT

We study the number of visits to balls B_r(x), up to time t/mu(B_r(x)), for a class of non-uniformly hyperbolic dynamical systems, where mu is the SRB measure. Outside a set of `bad' centers x, we prove that this number is approximately Poissonnian with a controlled error term. In particular, when r-->0, we get convergence to the Poisson law for a set of centers of mu-measure one. Our theorem applies for instance to the Hénon attractor and, more generally, to systems modelled by a Young tower whose return-time function has a exponential tail and with one-dimensional unstable manifolds. Along the way, we prove an abstract Poisson approximation result of independent interest.

研究动机与目标

• 为非一致双曲动力系统中对小球 $ B_r(x) $ 的访问次数建立Poisson近似。
• 量化典型中心 $ x $ 的Poisson近似误差，给出以球半径 $ r $ 表示的显式界。
• 识别一个‘坏’中心集合 $ \widehat{\mathcal{M}}_r $，满足 $ \mu(\widehat{\mathcal{M}}_r) \leq C r^b $，在此集合之外Poisson近似成立。
• 将Poisson近似结果从柱集推广至几何集合（如球体），尤其适用于高维非一致双曲系统。
• 提出一个具可控误差项的一般性抽象Poisson近似结果，适用于具有强混合性质的系统。

提出的方法

• 利用Young塔结构建模具有指数尾部返回时间与一维不稳定流形的非一致双曲系统。
• 应用相关系数的指数衰减性以控制混合行为，并限制过去访问的记忆。
• 运用Besicovitch覆盖引理估计球壳的测度，并控制访问动力中的几何重叠。
• 通过访问次数分布与Poisson律之间总变差距离的估计，推导出显式误差界。
• 利用稳定与不稳定流形上的均匀收缩与扩张性质，控制迭代球像与其邻域的交点数量。
• 构造潜在访问前驱集合 $ \mathscr{V}_p(x,r) $，并与一个壳层集合 $ \widetilde{\mathscr{C}}_{r,p\log\alpha/\log r}(x) $ 比较，以控制其测度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在哪些类别的非一致双曲系统中，对小球的访问次数收敛于Poisson分布？
• RQ2 访问次数分布收敛于Poisson律的速率如何？其与球半径 $ r $ 的依赖关系是怎样的？
• RQ3 Poisson近似失效的‘坏’中心集合 $ x $ 的大小如何？能否对其进行定量控制？
• RQ4 Poisson近似是否可对柱集以外的几何集合（如球体）建立，而非仅限于动力系统中的柱集？
• RQ5 几何与测度论工具（如Besicovitch覆盖引理）在推导访问次数统计的显式误差界中起何作用？

主要发现

• 对于一类由具有指数尾部返回时间与一维不稳定流形的Young塔建模的非一致双曲系统，当 $ x \notin \widehat{\mathcal{M}}_r $ 时，时间 $ \lfloor t / \mu(B_r(x)) \rfloor $ 内对 $ B_r(x) $ 的访问次数近似服从Poisson分布，且误差 $ \leq C r^a $，对所有 $ t > 0 $ 与 $ k \geq 0 $ 成立。
• ‘坏’中心集合 $ \widehat{\mathcal{M}}_r $ 的 $ \mu $-测度被控制在 $ C r^b $ 以内，表明几乎所有中心在 $ r \to 0 $ 时均满足Poisson近似。
• 当 $ r \to 0 $ 时，访问次数分布对 $ \mu $-几乎处处的中心 $ x $ 收敛于Poisson律，验证了Kac引理由启发式预期的合理性。
• 误差界 $ C r^a $ 是显式的，源于对球壳的几何估计以及访问次数与Poisson律之间总变差距离的估计。
• 该结果适用于具体系统，如Hénon吸引子、具一维不稳定流形的Axiom A吸引子，以及有限截面的扩散散射波系统。
• 提出一个具可控误差的一般性抽象Poisson近似结果，依赖于相关系数的指数衰减性与通过Besicovitch覆盖引理实现的几何控制，该结果本身具有独立兴趣。