[论文解读] Poisson law for some nonuniformly hyperbolic dynamical systems with polynomial rate of mixing

Françoise Pène, Benoît Saussol|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 19被引用 8

一句话总结

该论文为具有多项式相关衰减的非一致双曲动力系统中对小球的访问次数建立了泊松极限定理。通过利用具有多项式尾部分布的 Gibbs-Markov-Young 塔上的递归率与混合估计，作者证明了当 $ r \to 0 $ 时，对 $ \mu $-几乎处处的 $ x $，球 $ B(x,r) $ 的归一化访问次数收敛于泊松分布，前提是系统在几何与测度论上满足较弱的假设。

ABSTRACT

We consider some nonuniformly hyperbolic invertible dynamical systems which are modeled by a Gibbs-Markov-Young tower. We assume a polynomial tail for the inducing time and a polynomial control of hyperbolicity, as introduced by Alves, Pinheiro and Azevedo. These systems admit a physical measure with polynomial rate of mixing. In this paper we prove that the distribution of the number of visits to a ball B(x, r) converges to a Poisson distribution as the radius r $\ o$ 0 and after suitable normalization.

研究动机与目标

• 为具有多项式相关衰减的非一致双曲动力系统中对小球的访问次数建立泊松极限定理。
• 将先前在动力系统中关于泊松定律的结果推广至任意缓慢的多项式混合速率的情形。
• 通过使用递归率估计并利用混合控制对球进行逼近，克服相关衰减不可 summable 的问题。
• 在不变测度的冠层测度满足最小几何假设的条件下，验证泊松极限的成立，特别是当不变测度为绝对连续时。

提出的方法

• 使用具有返回时间多项式尾部分布和双曲性多项式控制的 Gibbs-Markov-Young 塔对系统建模。
• 利用递归率估计，表明对 $ \mu $-几乎处处的 $ x $，首次返回 $ B(x,r) $ 的时间尺度为 $ r^{-\dim_H \mu} $。
• 通过逼近球并利用条件 (3) 控制冠层测度 $ \mu(B(x,r+s)\setminus B(x,r)) $ 的增长，建立基于球定义的集合的混合估计。
• 应用基于相关衰减与短返回控制的抽象泊松逼近结果，以递归率论证替代对短返回的详细分析。
• 利用密度的 Hölder 连续性与 $ L^p $-可积性，验证在绝对连续测度下条件 (3) 成立，其中 $ a=1/q $，$ b=(1+d(q-1))/q $。
• 证明在假设 $ \alpha \dim_H \mu > b/a $ 下泊松极限成立，确保冠层测度不会增长过快。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有多项式混合的非一致双曲系统中，当球半径趋于零时，对小球的访问次数是否收敛于泊松分布？
• RQ2 当相关衰减仅为多项式且任意缓慢时，能否建立泊松极限？
• RQ3 轨道对小球的递归率如何影响此类系统中泊松极限的有效性？
• RQ4 对不变测度的哪些几何与测度论条件可确保泊松极限成立？

主要发现

• 对小球 $ B(x,r) $ 的访问次数，经 $ \mu(B(x,r)) $ 归一化后，当 $ r \to 0 $ 时，对 $ \mu $-几乎处处的 $ x $，其分布收敛于泊松分布。
• 在假设冠层测度满足 $ \mu(B(x,r+s)\setminus B(x,r)) \leq C_0 s^a r^{-b} \mu(B(x,2r)) $ 且 $ \alpha \dim_H \mu > b/a $ 的条件下，泊松极限成立。
• 递归率满足 $ \min\{n \geq 1 : d(f^n x, x) < r\} \approx r^{-\dim_H \mu} $，对 $ \mu $-几乎处处的 $ x $ 成立，从而可绕过对短返回的详细分析。
• 对于具有绝对连续不变测度的系统，若密度连续，则条件 (3) 几乎处处成立且 $ a=1 $，$ b=1 $；若密度属于 $ L^p $（$ p>1 $），则 $ a=1/q $，$ b=(1+d(q-1))/q $。
• 该结果适用于如具有遍历性的台球系统与马尔可夫毛毯映射等系统，其不变测度为绝对连续且混合速率为多项式。