[论文解读] Poissonization of Three Dimensional Nonholonomic Dynamics with the Method of Extension

Naoki Sato|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 45被引用 4

一句话总结

本文提出了一种系统化方法，通过将三维非完整系统嵌入四维扩展相空间，实现其泊松化，其中反对称算子满足雅可比恒等式（至多相差一个共形因子）。通过时间重参数化，动力学变为哈密顿形式，从而能够构建规范相空间，并得到由原系统反对称算子的螺旋度密度控制的非玻尔兹曼平衡分布函数。

ABSTRACT

In this study we develop a systematic procedure to construct a Poisson operator that describes the dynamics of a three dimensional nonholonomic system. Instead of reducing by symmetry the antisymmetric operator that links the energy gradient to the velocity on the tangent bundle, the system is embedded in a larger space. Here, the extended antisymmetric operator, which preserves the original equations of motion, satisfies the Jacobi identity in a conformal fashion. Thus, a Poisson operator can be obtained by a further time reparametrization. Such Poissonization does not rely on the specific form of the Hamiltonian function. The theory is applied to calculate the equilibrium distribution function of a non-Hamiltonian ensemble.

研究动机与目标

• 解决由于雅可比恒等式被破坏，三维非完整系统缺乏泊松结构的问题。
• 开发一种不依赖于特定对称性或哈密顿形式的通用方法，以构造泊松算子。
• 通过恢复规范相空间，使保守的非哈密顿系统能够建立统计力学形式。
• 推导在非可积磁场中经历E×B漂移的带电粒子系综的平衡分布函数。

提出的方法

• 通过引入一个新的自由度，将原始的三维非完整系统嵌入四维扩展相空间。
• 构造一个保持原方程运动的扩展反对称算子。
• 引入共形因子，以确保在扩展空间中满足雅可比恒等式。
• 利用共形因子进行时间重参数化，将系统转化为哈密顿标准形式。
• 利用所得规范相空间，通过最大熵原理推导平衡分布。
• 将坐标变换的雅可比行列式与螺旋度密度 h = w · ∇× w 关联，以量化雅可比恒等式失效的程度。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以不依赖对称性约化，系统化地对三维非完整系统进行泊松化？
• RQ2 当雅可比恒等式被破坏时，如何为保守系统恢复泊松结构？
• RQ3 螺旋度密度在决定非哈密顿系综的平衡分布中起什么作用？
• RQ4 扩展相空间与时间重参数化如何恢复不可压缩性与规范动力学？
• RQ5 在非可积磁场中E×B漂移的平衡分布函数具有何种形式？

主要发现

• 泊松化过程成功地在四维空间中构造出一个保持原动力学的规范哈密顿系统。
• 在非可积磁场中E×B漂移的平衡分布函数由于有限的螺旋度密度 h 而偏离标准玻尔兹曼形式。
• 扩展相空间中的分布 F 表示为 F = ∆s / (1 + ∆s h / 2)，其中 h 为螺旋度密度，明确显示出对雅可比恒等式失效的依赖性。
• 从原始相空间到扩展相空间的坐标变换的雅可比行列式与螺旋度密度成正比，量化了系统的可压缩性。
• 数值模拟证实，原始非哈密顿系统中的轨迹由于 h 不为零而呈现开放、螺旋形路径，而泊松化系统则产生闭合、不可压缩的轨道。
• 该方法可普遍应用于任意三维保守非完整系统，且不依赖于哈密顿量的具体形式。