[论文解读] Polynomial entropies for Bott nondegenerate Hamiltonian systems

Clémence Labrousse, Jean-Pierre Marco|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2012

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 7被引用 9

一句话总结

本文研究了紧致能量面上 Bott 非退化哈密顿系统中的多项式熵，证明在动力一致性与 Bott 非退化性条件下，弱多项式熵 $\mathrm{h_{pol}^*}$ 的取值为 \{0,1\}，而多项式熵 $\mathrm{h_{pol}}$ 的取值为 \{0,1,2\}。作者通过正规型、与模型系统的共轭关系以及畸变估计，分析覆盖数的增长率，证明了此类系统具有整数值的熵不变量。

ABSTRACT

In this paper, we study the entropy of a Hamiltonian flow in restriction to an enregy level where it admits a first integral which is nondegenerate in the Bott sense. It is easy to see that for such a flow, the topological entropy vanishes. We focus on the polynomial and the weak polynomial entropies. We prove that, under conditions on the critical level of the Bott first integral and dynamical conditions on the hamiltonian function, the weak polynomial entropy belongs to {0,1} and the polynomial entropy belongs to {0,1,2}.

研究动机与目标

• 分析限制在具有 Bott 非退化第一积分的能量面上的哈密顿流的多项式熵与弱多项式熵。
• 在动力一致性和 Bott 非退化性条件下，确定这些熵不变量可能取的值。
• 建立此类系统中多项式熵为整数值，从而在拓扑熵之外更精细地刻画动力复杂性。
• 构建与 p-模型系统的共轭关系，通过畸变估计与覆盖数增长来计算熵。

提出的方法

• 在双曲轨道邻域使用正规坐标，将临界子流形附近的动力线性化。
• 构造恰当截面，并建立流与 p-模型系统之间的共轭关系，将熵的计算简化为更简单的动力系统。
• 通过函数 $\Delta(a,t)$ 应用畸变估计，以控制相空间中分离量随时间的增长。
• 利用 $\varphi$-方向上的条带分解与区间覆盖，估计覆盖数 $D_N^\phi(\mathscr{A}, \varepsilon)$。
• 对 $r$-变量宽度使用指数衰减估计，以控制畸变并确保 $\varepsilon$-分离界限。
• 将多个条带 $\mathbf{S}_k$ 上的估计结果合并，并对 $k$ 求和，以证明总覆盖数增长被 $\alpha_\varepsilon N^2$ 控制，从而推出 $\mathrm{h_{pol}} \geq 2$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在动力一致性条件下，Bott 非退化哈密顿系统的弱多项式熵 $\mathrm{h_{pol}^*}$ 可能取哪些值？
• RQ2 在相同条件下，多项式熵 $\mathrm{h_{pol}}$ 可能取哪些值？
• RQ3 动力一致性条件如何影响系统中覆盖数增长速率？
• RQ4 系统能否共轭于一个模型系统以简化熵的计算？
• RQ5 覆盖数 $D_N^\phi(\mathscr{A}, \varepsilon)$ 的精确渐近增长速率是什么？它与多项式熵有何关系？

主要发现

• 对于具有动力一致性和 Bott 非退化性的哈密顿系统，弱多项式熵 $\mathrm{h_{pol}^*}$ 的取值为 0 或 1。
• 在相同条件下，多项式熵 $\mathrm{h_{pol}}$ 的取值为 0、1 或 2。
• 覆盖数 $D_N^\phi(\mathscr{A}, \varepsilon)$ 的增长至多为 $\alpha_\varepsilon N^2$，当系统非平凡时，意味着 $\mathrm{h_{pol}} \geq 2$。
• 熵值为离散且整数值，表明其在拓扑熵之外对动力复杂性提供了更精细的分类。
• 证明依赖于与 p-模型系统的共轭构造，以及通过 $\Delta(a,t)$ 和条带分解进行的畸变估计。
• 覆盖数 $D_N^\phi(\mathscr{A}, \varepsilon)$ 的上界为 $\tilde{\alpha}_\varepsilon N^2 + \frac{2}{\varepsilon}(i^* + Ni^{**} + p)$，确认了其为 2 次多项式增长。