[论文解读] Polynomial functions of degree 20 which are APN infinitely often

Florian Caullery|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2012

Coding theory and cryptography参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文通过分析与函数相关的代数曲面的有理点，对有限域 $\mathbb{F}_2$ 的无限多个扩张上为 APN（几乎完美非线性）的全部 20 次多项式函数进行了分类。结果表明，所有此类函数均与 $x^5$ CCZ 等价，为证实 Aubry-McGuire-Rodier 关于异常指数的猜想提供了关键步骤。

ABSTRACT

We give all the polynomials functions of degree 20 which are APN over an infinity of field extensions and show they are all CCZ-equivalent to the function $x^5$, which is a new step in proving the conjecture of Aubry, McGuire and Rodier.

研究动机与目标

• 对在 $\mathbb{F}_2$ 的无限多个扩张上为 APN 的所有 20 次多项式函数进行分类。
• 验证此类函数是否满足 Aubry-McGuire-Rodier 猜想，该猜想提出，仅当函数与异常单项式 $x^d$（其中 $d = 2^i+1$ 或 $4^i - 2^i + 1$）CCZ 等价时，才可能无限次为 APN。
• 将有理点分析方法扩展至 20 次多项式，克服与相关代数曲面中可约分量相关的挑战。
• 证明所有此类 20 次 APN 函数均与 $x^5$ CCZ 等价，后者为已知的异常单项式。

提出的方法

• 论文定义了一个与多项式 $f$ 相关的有理函数 $\phi(x,y,z) = \frac{f(x)+f(y)+f(z)+f(x+y+z)}{(x+y)(x+z)(y+z)}$，该函数是 APN 行为的关键不变量。
• 通过分析 $\mathbb{A}^3$ 中由 $\phi = 0$ 定义的代数曲面 $X$，利用如下事实：仅当 $X$ 包含于由三个平面构成的固定曲面 $V$ 中时，$f$ 才可能在无限多个 $\mathbb{F}_{2^n}$ 上为 APN。
• 该方法涉及对 $\phi$ 被对称多项式和不可约分量整除性的研究，特别关注与 $x^5$ 相关的 $\phi_5$，使用对称多项式 $s_1, s_3$ 和弗罗贝尼乌斯自同态 $\rho$。
• 通过逐项比较 $\phi$ 中系数的次数，对 $f$ 的形式施加约束，表明仅特定系数可为非零。
• 分析利用了 $\phi_5 + b$ 在 $b \neq 0$ 时在 $\mathbb{F}_q$ 上不可约的性质，若此类项出现在 $\phi$ 中将导致矛盾，从而强制 $b=0$。
• 最后，证明 $f$ 的唯一可能形式为 $f(x) = x^{20} + a_{16}x^{16} + a_{10}x^{10} + a_8x^8 + a_5x^5 + a_4x^4 + a_2x^2 + a_1x + a_0$，并证明其与 $x^5$ CCZ 等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些 $\mathbb{F}_q$ 上的 20 次多项式函数在无限多个域扩张 $\mathbb{F}_{2^n}$ 上为 APN？
• RQ2 所有此类 20 次 APN 函数是否均与 $x^5$ CCZ 等价，如 Aubry-McGuire-Rodier 猜想所预测？
• RQ3 由 $\phi(x,y,z)$ 定义的代数曲面 $X$ 的结构如何约束 $\deg f = 20$ 时 $f$ 的可能形式？
• RQ4 对称多项式和弗罗贝尼乌斯自同态在这些 APN 函数的分类中起什么作用？
• RQ5 表面有理点界和分量分析方法能否扩展至超过 12 次的更高次多项式？

主要发现

• 在 $\mathbb{F}_2$ 的无限多个扩张上为 APN 的所有 20 次多项式函数，其形式均为 $f(x) = x^{20} + a_{16}x^{16} + a_{10}x^{10} + a_8x^8 + a_5x^5 + a_4x^4 + a_2x^2 + a_1x + a_0$，其中系数属于 $\mathbb{F}_q$。
• 函数 $f$ 与 $x^5$ CCZ 等价，证实其属于 Aubry-McGuire-Rodier 猜想所预测的异常单项式类别。
• 分析表明，由于 $\phi$ 的不可约性与整除性约束，系数 $a_{19}, a_{18}, a_{17}, a_{15}, a_{14}, a_{13}, a_{12}, a_{11}, a_9, a_7, a_6$ 必须全为零。
• 与 $f$ 相关的曲面 $X$ 可被 $\phi_5$ 整除，且剩余因子的结构强制函数为 $x^5$ 的特定对称形式的扰动。
• 证明依赖于 $\phi_5 + b$ 在 $b \neq 0$ 时不可约的性质，若此类项出现在 $\phi$ 中将导致矛盾，从而强制 $b=0$。
• 最终形式的 $f$ 被证明在 CCZ 等价意义下等价于 $x^5$，完成了对 20 次情形的完整分类。