[论文解读] Polynomial Functors of Modules

Qimh Richey Xantcha|arXiv (Cornell University)|May 2, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文引入了数值函子作为在二项式基环上对Eilenberg与MacLane的多项式函子的推广，建立了弗里德兰德与苏斯林意义下严格多项式结构存在的精确判据。证明了：一个次数为 $ n $ 的数值函子当且仅当其为拟齐次且其模结构从分次幂代数 $ P_n(\overline{B}^{n\times n}) $ 提升至施鲁尔代数 $ \Gamma^n(\text{B}^{n\times n}) $ 时，可扩展为严格多项式函子。

ABSTRACT

We introduce the notion of numerical functors to generalise Eilenberg & MacLane's polynomial functors to modules over a binomial base ring. After shewing how these functors are encoded by modules over a certain ring, we record a precise criterion for a numerical (or polynomial) functor to admit a strict polynomial structure in the sense of Friedlander & Suslin. We also provide several characterisations of analytic functors.

研究动机与目标

• 通过引入数值函子的概念，将多项式函子推广至二项式基环上的模。
• 确定数值函子在弗里德兰德与苏斯林意义下具有严格多项式结构的精确条件。
• 将解析函子表征为数值函子的过滤归纳极限。
• 建立次数为 $ n $ 的数值函子与环 $ P_n(\mathbf{B}^{n\times n}) $ 上模之间的莫里塔等价。

提出的方法

• 在二项式环 $ \mathbf{B} $ 上的有限生成自由模范畴上引入数值函子，通过在二项式 $ \mathbf{B} $-代数上定义自然且乘法性的箭头映射。
• 构造环 $ P_n(\mathbf{B}^{n\times n}) $，并证明次数为 $ n $ 的数值函子范畴 $ \mathpzc{N}_n $ 与该环上的模范畴等价。
• 利用分次幂映射 $ \upgamma_n: P_n(\mathbf{B}^{n\times n}) \to \Gamma^n(\mathbf{B}^{n\times n}) $，通过限制标量将数值函子与严格多项式函子联系起来。
• 将解析函子定义为在二项式 $ \mathbf{B} $-代数 $ A $ 上的函子族 $ E_A $，其与标量扩张可交换，并证明其等价于在 $ A $ 上具有自然且乘法性箭头映射的函子。
• 通过分析张量积中二项式系数的次数，证明局部数值函子是数值函子的过滤归纳极限。
• 建立多项式函子定理：一个数值函子具有严格多项式结构当且仅当其为拟齐次，且其在 $ F(\mathbf{B}^n) $ 上的 $ P_n(\mathbf{B}^{n\times n}) $-模结构可提升为 $ \Gamma^n(\mathbf{B}^{n\times n}) $-模结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在二项式环 $ \mathbf{B} $ 上，一个次数为 $ n $ 的数值函子在弗里德兰德与苏斯林意义下何时具有严格多项式结构？
• RQ2 次数为 $ n $ 的数值函子与环 $ P_n(\mathbf{B}^{n\times n}) $ 上的模之间有何关系？
• RQ3 通过分次幂映射，数值函子范畴与严格多项式函子范畴之间的确切关系是什么？
• RQ4 如何用数值函子及其极限来表征解析函子？
• RQ5 何种条件可确保一个局部数值函子是数值函子的过滤归纳极限？

主要发现

• 次数为 $ n $ 的数值函子范畴 $ \mathpzc{N}_n $ 与环 $ P_n(\mathbf{B}^{n\times n}) $ 上的模范畴等价，其等价由 $ F \mapsto F(\mathbf{B}^n) $ 给出。
• 一个次数为 $ n $ 的数值函子 $ F $ 具有严格多项式结构当且仅当其为拟齐次，且其在 $ F(\mathbf{B}^n) $ 上的 $ P_n(\mathbf{B}^{n\times n}) $-模结构可提升为 $ \Gamma^n(\mathbf{B}^{n\times n}) $-模结构。
• 从严格多项式函子到数值函子的遗忘函子对应于沿分次幂映射 $ \upgamma_n: P_n(\mathbf{B}^{n\times n}) \to \Gamma^n(\mathbf{B}^{n\times n}) $ 的限制标量，且仅当 $ n = 0,1,2 $ 时为满且本质上单射。
• 解析函子正是数值函子的过滤归纳极限。
• 局部数值函子是数值函子的过滤归纳极限，这通过在张量积中对二项式系数的次数进行有界分析得以证明。
• 一个数值函子的箭头映射可扩展为在二项式 $ \mathbf{B} $-代数 $ A $ 上的乘法性、自然映射，形式为 $ F_A: A \otimes \mathrm{Hom}(M,N) \to A \otimes \mathrm{Hom}(F(M),F(N)) $，这表征了次数为 $ n $ 的数值函子。