[论文解读] Polytopes and algebras of grafted trees: Stellohedra

Stefan Forcey, Marı́a Ronco+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用 1

一句话总结

本文确立了涂色树——来自操演理论的组合结构——与凸多面体的面偏序集的极小元之间的对应关系，具体为星形多面体（stellohedra）和广义对称多面体（generalized permutohedra）。研究证明，这些面偏序集构成具有单侧单位的分次霍普夫代数，并通过有序二叉树、无序二叉树和标记柯拉（labeled corollas）的代换操作，实现了基于种类理论的面计数，揭示了星形多面体是完全图的图复合体（graph composihedra）的提升结构。

ABSTRACT

Combinatorial Hopf algebras of trees exemplify the connections between operads and bialgebras. Painted trees were introduced recently as examples of how graded Hopf operads can bequeath Hopf structures upon compositions of coalgebras. We put these trees in context by exhibiting them as the minimal elements of face posets of certain convex polytopes. The full face posets themselves often possess the structure of graded Hopf algebras (with one-sided unit). We can enumerate faces using the fact that they are structure types of substitutions of combinatorial species. Species considered here include ordered and unordered binary trees and ordered lists (labeled corollas). Some of the polytopes that constitute our main results are well known in other contexts. First we see the classical permutohedra, and then certain generalized permutohedra: specifically the graph associahedra of suspensions of certain simple graphs. As an aside we show that the stellohedra also appear as liftings of generalized permutohedra: graph composihedra for complete graphs. Thus our results give examples of Hopf algebras of tubings and marked tubings of graphs. We also show an alternative associative algebra structure on the graph tubings of star graphs.

研究动机与目标

• 通过将涂色树识别为特定多面体（如星形多面体与图关联多面体）的面偏序集中的极小元，将其置于凸多面体的几何框架中。
• 证明这些多面体的完整面偏序集支持具有单侧单位的分次霍普夫代数结构。
• 利用组合种类理论对这些多面体的面进行计数，特别是通过有序二叉树、无序二叉树和标记柯拉的代换操作。
• 证明星形多面体作为广义对称多面体的提升结构，具体而言是完全图的图复合体。
• 在星图的图管（graph tubings）上构造一种替代的结合代数结构。

提出的方法

• 将涂色树识别为凸多面体（特别是星形多面体与简单图悬垂图的图关联多面体）的面偏序集中的极小元。
• 利用组合种类理论，将面结构建模为种类的代换：有序二叉树、无序二叉树和标记柯拉。
• 确立这些多面体的面偏序集支持具有单侧单位的分次霍普夫代数结构。
• 借助广义对称多面体与图关联多面体的已知结果，证明星形多面体是完全图图复合体的提升结构。
• 通过利用星图组合结构的特性，在其图管上构造一种替代的结合代数结构。
• 应用操演与双代数的框架，将树上的代数结构与多面体中的几何实现相联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 涂色树如何与星形多面体和图关联多面体等凸多面体的面偏序集相关联？
• RQ2 这些多面体的面偏序集能否被赋予分次霍普夫代数结构？若能，该结构具有何种性质？
• RQ3 星形多面体以何种方式作为广义对称多面体的提升结构出现，特别是作为完全图的图复合体？
• RQ4 如何通过组合种类理论与代换操作，系统地描述这些多面体的面计数？
• RQ5 是否存在一种星图图管上的替代结合代数结构？它与面偏序集上的霍普夫代数结构有何关联？

主要发现

• 涂色树被实现为来自简单图悬垂图的星形多面体与广义对称多面体的面偏序集中的极小元。
• 这些多面体的完整面偏序集自然承载具有单侧单位的分次霍普夫代数结构，扩展了已知的树上霍普夫代数构造。
• 通过种类理论的代换操作实现面计数，其中面对应于由有序二叉树、无序二叉树和标记柯拉构建的结构。
• 证明星形多面体是完全图图复合体的提升结构，从而将它们嵌入广义对称多面体的更广泛框架中。
• 在星图的图管上构造了一种替代的结合代数结构，为这一类图管提供了新的代数实现。
• 研究结果通过证明组合种类与图管是关键多面体面偏序集的基础，统一了操演、双代数与多面体结构。