[论文解读] Porous media, Fast diffusion equations and the existence of global weak solution for the quasi-solution of compressible Navier-Stokes equations

Boris Haspot|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2013

Navier-Stokes equation solutions参考文献 15被引用 9

一句话总结

该论文通过一种新颖的框架，将准解与多孔介质、快速扩散及热方程联系起来，在特定的粘性定律下，建立了可压缩N-S方程准解的全局弱解的存在性。证明了当 $\mu(\rho) = \rho^\alpha$ 且 $\alpha > 1$ 时，密度表现出准有限传播速度，并在二维情况下即使初始数据较大，其渐近行为也收敛于质量为 $\|\rho_0\|_{L^1}$ 的Barrenblatt解。

ABSTRACT

In \cite{arxiv,arxiv1,Kor,cras1,cras2}, we have developed a new tool called extit{quasi solutions} which approximate in some sense the compressible Navier-Stokes equation. In particular it allows us to obtain global strong solution for the compressible Navier-Stokes equations with extit{large} initial data on the irrotational part of the velocity ( extit{large} in the sense that the smallness assumption is subcritical in terms of scaling, it turns out that in this framework we are able to obtain a family of large initial data in the energy space in dimension N=2). In this paper we are interested in proving the result anounced in \cite{cras3} concerning the existence of global weak solution for the quasi-solutions, we also observe that for some choice of initial data (irrotationnal) the quasi solutions verify the porous media, the heat equation or the fast diffusion equations in function of the structure of the viscosity coefficients. In particular it implies that it exists classical quasi-solutions in the sense that they are $C^{\infty}$ on $(0,T) imes\R^{N}$ for any $T>0$. Finally we show the convergence of the global weak solution of compressible Navier-Stokes equations to the quasi solutions in the case of a vanishing pressure limit process. In particular we show that for highly compressible equations the speed of propagation of the density is quasi finite when the viscosity corresponds to $μ(ρ)=ρ^α$ with $α>1$. Furthermore the density is not far from converging asymptotically in time to the Barrenblatt solution of mass the initial density $ρ_{0}$.

研究动机与目标

• 建立可压缩N-S方程准解的全局弱解存在性，扩展先前关于大初始数据下全局强解的研究结果。
• 阐明在特定粘性结构下，准解与基本非线性PDE（多孔介质方程、快速扩散方程与热方程）之间的联系。
• 分析在高度可压缩流体中，当 $\mu(\rho) = \rho^\alpha$，$\alpha > 1$ 时，密度自由边界传播速度的性质，证明其为准有限速度。
• 研究密度的长期渐近行为，证明其收敛于质量为 $\|\rho_0\|_{L^1}$ 的Barrenblatt解。

提出的方法

• 引入‘准解’的概念作为正则化工具，用于在能量空间中构造具有大初始数据的可压缩N-S方程的全局解。
• 分析系统在自相似变换下的标度不变性，推导出将系统与多孔介质或快速扩散方程联系起来的相似指数 $\alpha$，$\alpha_1$，$\beta$，其取决于粘性参数。
• 在 $L^1$ 与 $L^p$ 空间中使用紧致性与弱收敛论证，证明近似解 $\rho_\epsilon$ 在 $C([0,T], L^1(\mathbb{R}^N))$ 中强收敛于极限 $\rho$。
• 应用插值与 $L^p$ 衰减估计，表明 $\|\rho_\epsilon(t)\|_{L^p}$ 随时间衰减，表明存在非线性阻尼效应。
• 以Barrenblatt解为渐近行为的参考，证明当 $t \to \infty$ 时，有 $\|\rho_\epsilon(t) - U_m(t)\|_{L^1} \to 0$（对足够小的 $\epsilon$）。
• 在压力趋于零的极限过程中，建立可压缩N-S方程全局弱解向准解的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，可压缩N-S方程的准解作为弱解在时间上全局存在？
• RQ2 粘性系数 $\mu(\rho) = \rho^\alpha$ 与 $\lambda(\rho) = \rho^\alpha$ 的结构如何导致其与多孔介质或快速扩散方程的联系？
• RQ3 当 $\mu(\rho) = \rho^\alpha$ 且 $\alpha > 1$ 时，密度自由边界的传播速度为何种性质？
• RQ4 准解的密度是否渐近收敛于质量为 $\|\rho_0\|_{L^1}$ 的Barrenblatt解？
• RQ5 压力趋于零的极限过程如何将可压缩N-S方程的全局弱解与准解联系起来？

主要发现

• 即使在二维空间中初始数据在能量空间中较大，可压缩N-S方程准解系统的全局弱解也存在。
• 对于无旋初始数据及粘性 $\mu(\rho) = \rho^\alpha$（$\alpha > 1$）的情形，准解满足快速扩散方程，且对任意 $T > 0$，在 $(0,T) \times \mathbb{R}^N$ 上为 $C^\infty$。
• 当 $\mu(\rho) = \rho^\alpha$ 且 $\alpha > 1$ 时，密度自由边界的传播速度为准有限速度，因为 $\rho_\epsilon$ 在 $C([0,T], L^1(\mathbb{R}^N))$ 中强收敛于 $\rho$。
• $\rho_\epsilon$ 的 $L^p$ 范数在小 $\epsilon$ 时随时间衰减，表明存在非线性阻尼效应，衰减速率为 $\|\rho(t)\|_{L^p} \leq C t^{-\sigma_p} \|\rho_0\|_{L^1}^{\alpha_p}$。
• 当 $t \to \infty$ 时，解 $\rho_\epsilon(t, \cdot)$ 在 $L^1$ 范数下收敛于质量为 $m = \|\rho_0\|_{L^1(\mathbb{R}^N)}$ 的Barrenblatt解 $U_m$，对足够小的 $\epsilon$ 成立。
• 在压力趋于零的极限下，可压缩N-S方程的全局弱解收敛于准解，从而验证了准解框架的一致性。