[论文解读] Positive scalar curvature and a new index theory for noncompact manifolds

Stanley Chang, Shmuel Weinbeger+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2015

Advanced Operator Algebra Research参考文献 32被引用 8

一句话总结

本文為具可容許 Exhaustion 的非緊流形提出一種新的指數理論，利用相對群 C*-代數與最大 Baum-Connes 映射，檢測非緊設定下特有的正 scalar curvature 異常現象。本文構造出一個非緊流形，其每個緊緻 Exhaustion 分量皆可賦予正 scalar curvature 度量，但整體上卻不存在均勻正 scalar curvature 度量；另構造出另一個流形，其正 scalar curvature 度量空間具有不可數無限多個連通分支——展現非緊設定下全新的幾何複雜性。

ABSTRACT

In this article, we develop a new index theory for noncompact manifolds endowed with an admissible exhaustion by compact sets. This index theory allows us to provide examples of noncompact manifolds with exotic positive scalar curvature phenomena.

研究动机与目标

• 發展具可容許 Exhaustion 的非緊流形之新指數理論，延伸緊緻情形的工具。
• 利用最大相對群 C*-代數，提出具邊界的流形之相對 Gromov-Lawson-Rosenberg 猜想。
• 構造具非緊流形中前所未見之異常正 scalar curvature 行為的非緊流形。
• 證明非緊流形上均勻正 scalar curvature 度量空間可具有不可數無限多個連通分支。

提出的方法

• 利用局部化代數與推廣的漸近同態，定義從 KO_*(M, ∂M) 到 KO_*(C^*_max(π₁(M), π₁(∂M))) 的最大相對 Baum-Connes 映射 μ_max。
• 構造一個相對群 C*-代數 C^*_max(π₁(M), π₁(∂M))，以編碼流形及其邊界的基本群資料。
• 應用 Gromov-Lawson 手術定理，修改自旋流形的連通和上的度量，以保持正 scalar curvature。
• 利用 M×ℝ 上 Dirac 算子的相對高階指數，檢測正 scalar curvature 度量空間中不同之連通分支。
• 運用 Pimsner 定理與 Milnor 序列，計算與 Exhaustion 相關之 C*-代數 A(M) 的 KO-理論。
• 應用 Xie-Yu [42] 的相對指數定理，證明若度量在各和項上不同，則 M×ℝ 上度量的相對指數在 KO_*(A(M)) 中非零。

实验结果

研究问题

• RQ1 非緊流形是否可能在其每個緊緻 Exhaustion 分量上皆容許正 scalar curvature 度量，卻整體上無法容許均勻正 scalar curvature 度量？
• RQ2 何種拓撲或分析不變量可檢測非緊流形上均勻正 scalar curvature 度量空間中不同之連通分支？
• RQ3 相對指數理論應如何延伸至具可容許 Exhaustion 的非緊流形，以檢測異常之正 scalar curvature 現象？
• RQ4 非緊流形上正 scalar curvature 度量空間是否可能具有不可數無限多個連通分支？何種不變量可檢測此現象？
• RQ5 在某些非緊對稱空間中，粗等距不等價於自然度量，是否暗示均勻正 scalar curvature 的障礙？

主要发现

• 存在一非緊流形 M，其具有由緊緻集 (M_i, ∂M_i) 組成的可容許 Exhaustion，每個分量皆容許在邊界處具摺疊結構的正 scalar curvature 度量，但 M 本身卻不存在均勻正 scalar curvature 度量。
• 非緊流形 M 上均勻正 scalar curvature 度量空間 PS(M) 可具有不可數無限多個連通分支，此點透過在連通和的無限多個和項上差異的度量構造得以證明。
• 對於在無限多個和項上不同的度量，M×ℝ 上 Dirac 算子的相對高階指數在 KO_*(A(M)) 中非零，證明其位於 PS(M) 的不同路徑連通分支中。
• 相對指數 ind(D_{β,β'}) 不在 KO_*(ℝ) → KO_*(C^*_r(π₁(N))) 的像中，暗示其在 C*-代數 A(M) 的 K-理論中非平凡。
• Milnor 序列確保相對指數在 KO_*(D_i^*) 中的非平凡性（當 i 足夠大時）可推出其在 KO_*(A(M)) 中的非平凡性，從而確認 PS(M) 中存在不同之連通分支。
• 該構造依賴於一具非平凡高階 Â-虧格的自旋流形 W，使其能產生 N 上兩種不同的正 scalar curvature 度量 α 與 α′，進而用於構造 M 上不可數無限多個度量的族。