[论文解读] Positivity Cones under Deformations of Complex Structures

Houda Bellitir, Dan Popovici|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 1被引用 5

一句话总结

本文通過兩種方法研究緊複流形上弗羅利希譜序列的退化現象：首先，針對sGG流形在雙次數$(n-2,n)$中引入$E_2sG$-正性錐，並證明其在複結構變形下具有下半連續性；其次，透過引入一個使用扭轉微分算子$d_h$的$h$-$\partial\bar{\partial}$-性質，並證明其變形開性。主要貢獻在於確立$E_2$-退化與正性錐行為在複結構的小變形下保持不變。

ABSTRACT

We investigate connections between the sGG property of compact complex manifolds, defined in earlier work by the second author and L. Ugarte by the requirement that every Gauduchon metric be strongly Gauduchon, and a possible degeneration of the Frölicher spectral sequence. In the first approach that we propose, we prove a partial degeneration at $E_2$ and we introduce a positivity cone in the $E_2$-cohomology of bidegree $(n-2,\,n)$ of the manifold that we then prove to behave lower semicontinuously under deformations of the complex structure. In the second approach that we propose, we introduce an analogue of the $\partial\bar\partial$-lemma property of compact complex manifolds for any real non-zero constant $h$ using the partial twisting $d_h$, introduced recently by the second author, of the standard Poincaré differential $d$. We then show, among other things, that this $h$-$\partial\bar\partial$-property is deformation open.

研究动机与目标

• 探討sGG性質與緊複流形上弗羅利希譜序列退化之間的關係。
• 探討強Gauduchon度量的存在是否意味著在$E_2$處的部分退化。
• 引入並研究使用sG度量在$E_2$-上同調類的雙次數$(n-2,n)$中的一個新正性錐。
• 透過使用實數非零$h$的扭轉微分算子$d_h$，建立廣義$\partial\bar{\partial}$-引理的變形開性。
• 證明$E_2sG$-錐在複結構的全純變形下以半連續方式變動。

提出的方法

• 將$E_2sG$-錐$\mathcal{S}_X \subset E_2^{n-2,n}(X)$定義為使用強Gauduchon度量對Dolbeault上同調的改進。
• 證明在sGG流形上，$d_2$在雙次數$(n-2,n)$中恆為零，從而導致$E_2$處的部分退化。
• 對$h \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$定義$h$-扭轉微分算子$d_h = d + h \partial - h^{-1} \bar{\partial}$，以推廣標準的$d$-算子。
• 建立$h$-$\partial\bar{\partial}$-性質與$h$-BC到$h$-A映射的單射性之間的等價關係，從而支援歸納法的變形論證。
• 利用經典的Ehresmann定理，將族$\pi: \mathcal{X} \to \Delta$視為$C^\infty$平凡，固定底層光滑流形與de Rham上同調。
• 透過對度數$k$的歸納，證明$h$-$\partial\bar{\partial}$-性質具有變形開性，依賴於維數穩定性以及上同調映射的單射性與滿射性。

实验结果

研究问题

• RQ1 對於具有sG度量的緊複流形，特別是在維度3時，弗羅利希譜序列是否在$E_2$處退化？
• RQ2 能否使用sG度量在雙次數$(n-2,n)$（非$(p,p)$型）的上同調類中定義某種正性概念？
• RQ3 $E_2sG$-錐在雙次數$(n-2,n)$中是否在複結構的全純變形下具有下半連續性？
• RQ4 $h$-$\partial\bar{\partial}$-性質（透過扭轉微分算子$d_h$定義）是否在複結構的小變形下保持穩定？
• RQ5 $h$-$\partial\bar{\partial}$-性質與經典$\partial\bar{\partial}$-引理之間的關係為何？它是否意味著弗羅利希譜序列的退化？

主要发现

• $d_2$作用於sGG流形上$E_2^{n-2,n}(X)$時恆為零，從而導致$E_2$處的部分退化。
• $E_2sG$-錐$\widetilde{\mathcal{S}}_{X_t} \subset H_{\text{DR}}^{2n-2}(X,\mathbb{R})$在全純族$\pi: \mathcal{X} \to \Delta$的參數$t$下以半連續方式變動。
• $h$-$\partial\bar{\partial}$-性質具有變形開性：若$X_0$滿足該性質，則所有$X_t$（$t$接近0）亦滿足。
• 對每個$k$，在$t$接近0時，$X_t$上的$h$-BC與$h$-A上同調群維數相等，且自然映射$H^k_{h-BC}(X_t) \to H^k_{h-A}(X_t)$是同構。
• 在$h$-$\partial\bar{\partial}$-性質下，對所有$k$-形式$u$，有$u \in \text{Im}\,d \iff u \in \text{Im}\,(d_h d_{-h^{-1}}) = \text{Im}(\partial\bar{\partial})$，這推廣了經典的$\partial\bar{\partial}$-引理。
• $h$-$\partial\bar{\partial}$-性質在所有$k$下成立時，可推出經典$\partial\bar{\partial}$-引理，表明新條件是經典引理的自然推廣。