[论文解读] Positivity of Hodge bundles of abelian varieties over some function fields

Xinyi Yuan|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用 4

一句话总结

该论文证明了，对于有限域 $k$ 上的函数域 $K = k(t)$，每个阿贝尔簇都与一个常值阿贝尔簇和另一个其在 $\mathbb{P}^1_k$ 上的尼罗德模型具有足够正线丛的阿贝尔簇之间存在一个同源。该结果意味着：在 Tate–Shafarevich 群中 $p$-幂次 torsion 的有限性、在完美闭包上的有理点的有限生成性，以及对所有代数曲面的 Tate 猜想可约化为 $H^1(\mathcal{O}) = 0$ 的特例。证明依赖于一种新颖的商构造和 $\mathbb{P}^1_k$ 上的几何技巧。关键贡献在于：通过同源后，Hodge 线丛的正性得以建立，从而在正特征情形下实现算术应用。

ABSTRACT

The main result of this paper concerns the positivity of the Hodge bundles of abelian varieties over global function fields. As applications, we obtain some partial results on the Tate--Shafarevich group and the Tate conjecture of surfaces over finite fields.

研究动机与目标

• 建立正特征下曲线函数域上阿贝尔簇的 Hodge 线丛正性。
• 证明每个定义在 $K = k(t)$ 上的阿贝尔簇都同源于一个常值阿贝尔簇与一个在 $\mathbb{P}^1_k$ 上具有足够正 Hodge 线丛的阿贝尔簇的积。
• 应用该结果，推导出 Tate–Shafarevich 群中 $p$-幂次 torsion 的有限性，以及 $A(K^{\rm per})$ 的有限生成性。
• 将有限域上所有射影光滑曲面的 Tate 猜想约化为 $H^1(\mathcal{O}_X) = 0$ 的情形。
• 提供一种几何方法，用于构造具有平凡 $H^1(\mathcal{O})$ 的曲面，以连接 BSD 猜想与 Tate 猜想。

提出的方法

• 利用 $p$-可除群的商构造，分离 Hodge 线丛中非足够正的部分，灵感来自 Rössler 的工作。
• 利用 Birkhoff–Grothendieck 定理将 $\mathbb{P}^1_k$ 上的向量丛分解，将足够正性问题约化为分解中最小次数的正性。
• 构造对偶阿贝尔簇 $A^\vee$ 在 $\mathbb{P}^1_k$ 上的射影正规模型 $\mathcal{P}$，以分析其上同调性质。
• 应用 Leray 谱序列，利用 $R^1\psi_*\mathcal{O}_\mathcal{P}$ 的对偶的足够正性，证明 $H^1(\mathcal{P}, \mathcal{O}_\mathcal{P}) = 0$。
• 利用 Poonen 的 Bertini 型定理，在 $\mathcal{P}$ 中构造一个光滑曲面 $\mathcal{Y} \subset \mathcal{P}$，使得 $H^1(\mathcal{Y}, \mathcal{O}_\mathcal{Y}) = 0$，且其通用纤维上同调映射是单射。
• 通过有限核将 $\mathcal{Y}_\eta$ 的雅可比簇与原始阿贝尔簇联系起来，从而实现 BSD 猜想与 Tate 猜想的约化。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在通过同源后，使 $K = k(t)$ 上阿贝尔簇的 Hodge 线丛变得足够正？
• RQ2 在 $\mathbb{P}^1_k$ 上具有半阿贝尔约化的阿贝尔簇中，Tate–Shafarevich 群中 $p$-幂次 torsion 的有限性是否成立？
• RQ3 阿贝尔簇 $A$ 在 $K = k(t)$ 上的 Mordell–Lang 猜想是否由 Hodge 线丛的足够正性所蕴含？
• RQ4 能否将有限域上所有射影光滑曲面的 Tate 猜想约化为 $H^1(\mathcal{O}_X) = 0$ 的情形？
• RQ5 何种几何条件可保证对 $A^\vee$ 的正规模型 $\mathcal{P}$，有 $H^1(\mathcal{O}_\mathcal{P}) = 0$？

主要发现

• 每个定义在 $K = k(t)$ 上的阿贝尔簇 $A$ 都同源于 $B \times_K C_K$，其中 $C$ 是定义在 $k$ 上的阿贝尔簇，且 $B$ 在 $\mathbb{P}^1_k$ 上的 Hodge 线丛足够正。
• $A(K^{\rm per})$ 在 $\mathbb{P}^1_k$ 上具有半阿贝尔约化的阿贝尔簇情形下是有限生成的，从而证实了完整 Mordell–Lang 猜想的一个特例。
• 在半阿贝尔约化条件下，Tate–Shafarevich 群中被 Frobenius 迭代作用所消去的子群 $\operatorname{X}(A)[F^\infty]$ 是有限的。
• 所有有限域上射影光滑曲面的 Tate 猜想，可由其在 $H^1(\mathcal{O}_X) = 0$ 情形下的成立性推出。
• Hodge 线丛 $\overline{\Omega}_A$ 在 $\mathbb{P}^1_k$ 上是拟正的，且通过同源去除等变部分后，足够正性成立。
• 利用 Poonen 的 Bertini 定理，以正密度可构造出光滑曲面 $\mathcal{Y} \subset \mathcal{P}$，使得 $H^1(\mathcal{Y}, \mathcal{O}_\mathcal{Y}) = 0$，从而实现上同调约化。