[论文解读] Positivity of line bundles and Newton-Okounkov bodies

Alex Küronya, Victor Lozovanu|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 4

一句话总结

本文通过牛顿-奥库诺夫体，建立了复射影代数簇上线丛全局与局部正性的凸几何刻画。证明了对于任意点 $x \in X$，一个大 $\mathbb{R}$-除子 $D$ 是 nef（相应地，ample）当且仅当其关于任意以 $x$ 为中心的旗构造的牛顿-奥库诺夫体包含原点（相应地，一个全维单形），从而在数值正性与凸几何之间建立了完整联系。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to charazterize asymptotic base loci of line bundles on projective varieties via Newton-Okounkov bodies.

研究动机与目标

• 通过牛顿-奥库诺夫体刻画复射影代数簇上线丛的全局与局部正性。
• 建立渐近基点簇 $\mathbf{B}_{-}(D)$ 与 $\mathbf{B}_{+}(D)$ 与牛顿-奥库诺夫体几何之间的精确联系。
• 利用泽尔斯基分解与 $\sigma$-分解理论，将已有曲面结果推广至高维代数簇。
• 为中野的 $\sigma$-分解提供凸几何解释，并研究其在除子形变下的变化。

提出的方法

• 使用子簇的可接受旗 $Y_{\bullet}$ 构造大 $\mathbb{R}$-除子 $D$ 的牛顿-奥库诺夫体 $\Delta_{Y_{\bullet}}(D) \subseteq \mathbb{R}^n$。
• 应用牛顿-奥库诺夫体理论，将原点或标准单形 $\Delta_\lambda$ 在 $\Delta_{Y_{\bullet}}(D)$ 中的位置与点 $x$ 处 $D$ 的局部正性联系起来。
• 运用中野的 $\sigma$-分解分析负部 $N_\sigma(D)$ 及其在形变 $D \mapsto D - tE$ 下的行为。
• 利用牛顿-奥库诺夫体在限制与形变下的凸性与单调性，特别是通过包含关系 $\Delta_{Y_{\bullet}}(D-tE) \subseteq \Delta_{Y_{\bullet}}(D)$。
• 应用 Jow 关于数值等价性与牛顿-奥库诺夫体普遍性的结果，推导出体的集合确定了数值不变量。
• 利用 $\text{Supp}(N_\sigma(D))$ 是子簇的可数并这一事实，选取非常一般点 $x$ 满足 $x \notin \mathbf{B}_-(D)$，从而可应用定理 2.1。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时一个大 $\mathbb{R}$-除子 $D$ 在点 $x$ 处是 nef？这能否通过牛顿-奥库诺夫体 $\Delta_{Y_{\bullet}}(D)$ 检测？
• RQ2 何时一个大 $\mathbb{R}$-除子 $D$ 在点 $x$ 处是 ample？这是否等价于 $\Delta_{Y_{\bullet}}(D)$ 中存在一个全维单形 $\Delta_\lambda$？
• RQ3 当 $D$ 在大锥内移动时，$\sigma$-分解的负部 $N_\sigma(D)$ 如何变化？
• RQ4 $\sigma_E(D)$ 的消失性与 $\sigma_E(D - tE)$ 在 $t \geq 0$ 下的行为之间有何关系？
• RQ5 能否通过牛顿-奥库诺夫体，对所有以 $x$ 为中心的旗，统一刻画 $D$ 在 $x$ 处的局部正性？

主要发现

• 一个大 $\mathbb{R}$-除子 $D$ 是 nef 当且仅当对任意点 $x \in X$，存在一个以 $x$ 为中心的可接受旗 $Y_{\bullet}$，使得原点 $\mathbf{0} \in \Delta_{Y_{\bullet}}(D)$。
• 一个大 $\mathbb{R}$-除子 $D$ 是 ample 当且仅当对任意点 $x \in X$，存在一个以 $x$ 为中心的可接受旗 $Y_{\bullet}$ 及某个 $\lambda > 0$，使得标准单形 $\Delta_\lambda \subseteq \Delta_{Y_{\bullet}}(D)$。
• 若 $\sigma_E(D) = 0$，则对所有 $t \geq 0$ 有 $\sigma_E(D - tE) = 0$，意味着除子 $E$ 在射线 $D - tE$ 上不贡献于 $\sigma$-分解的负部。
• 当 $D$ 大且 $\sigma_E(D) > 0$ 时，对所有 $t \in [0, \sigma_E(D)]$ 有 $N_\sigma(D - tE) = N_\sigma(D) - tE$，表明负部沿 $E$ 方向具有线性性。
• 当 $\sigma_E(D) = 0$ 时，函数 $t \mapsto N_\sigma(D - tE)$ 是递增的，即对所有 $t_1 \geq t_2 \geq 0$，有 $N_\sigma(D - t_1E) - N_\sigma(D - t_2E)$ 是有效除子。
• 包含关系 $\nu_{Y_{\bullet}}(N_\sigma(D)) + \Delta_{Y_{\bullet}}(P_\sigma(D)) \subseteq \Delta_{Y_{\bullet}}(D)$ 成立，将 $\sigma$-分解与牛顿-奥库诺夫体的加法结构联系起来。