[论文解读] Possible connections between whiskered categories and groupoids, many object Leibniz algebras, automorphism structures and local-to-global questions

Ronald Brown|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 30被引用 7

一句话总结

本文引入了带须范畴与群丛，以将换位子理论及类似李括号的结构扩展至诸如加法范畴与群丛等多对象设定。通过将这些结构嵌入立方体框架，作者建立了一套非莱布尼茨换位子理论，支持代数与同伦论应用，包括与交叉复形、二重交叉模的联系，以及对幺半群可能的化解。

ABSTRACT

We define the notion of whiskered categories and groupoids, showing that whiskered groupoids have a commutator theory. So also do whiskered $R$-categories, thus answering questions of what might be `commutative versions' of these theories. We relate these ideas to the theory of Leibniz algebras, but the commutator theory here does not satisfy the Leibniz identity. We also discuss potential applications and extensions, for example to resolutions of monoids.

研究动机与目标

• 为解决范畴与群丛中缺乏一致的换位子或李括号理论，特别是在加法或诸多对象设定下。
• 在带须范畴与群丛中定义广义换位子结构，以支持代数与同伦论推理。
• 探讨带须结构、莱布尼茨代数与自同构群之间的联系，特别是在交叉复形语境下。
• 研究立方体高维结构在代数拓扑与同伦论中建模局部到整体现象的作用。
• 提出一种通过交叉微分代数范畴中的可滤逼近来化解幺半群的框架。

提出的方法

• 通过在范畴中引入额外结构以支持换位子运算，提出带须范畴的概念。
• 利用从立方体范畴 $I^n$ 的函子定义范畴中的正方形与立方体，实现高维复合与代数操作。
• 为群丛引入 delta 算子 $\delta f$，为加法范畴引入 $\Delta f$ 算子，以捕捉类似换位子的行为。
• 建立 $\delta$ 与 $\Delta$ 在水平与垂直复合下的变换规则，表明其与双范畴结构相容。
• 将立方体框架应用于交叉复形与二重交叉模，将理论与同伦论及非交换上同调联系起来。
• 提出使用带连接的立方体 $\omega$-群丛作为自同构结构与高阶同伦论的自然设定。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为群丛与范畴定义换位子理论，特别是在缺乏自然李括号的情况下？
• RQ2 带须范畴与群丛会产生哪些代数与同伦论结构，它们与莱布尼茨代数有何关系？
• RQ3 立方体高维结构在何种方式下促进代数拓扑中局部到整体性质的研究？
• RQ4 能否利用带须群丛及其自同构结构，通过可滤逼近来建模幺半群的化解？
• RQ5 2-交叉模与holonomy在捕捉高阶范畴中非全局交换律方面起什么作用？

主要发现

• 带须群丛通过 $\delta$-算子具备明确定义的换位子理论，且在复合下满足变换规则。
• 加法范畴中的 $\Delta$-算子产生一个不满足莱布尼茨恒等式的非莱布尼茨括号，但尊重加法与复合结构。
• 立方体框架能自然描述高维换位子，并支持双范畴与三重范畴的构造。
• 带须 $R$-范畴支持一种类似李括号的结构，该结构无需满足莱布尼茨恒等式，但与立方体复合相容。
• 该理论为通过将幺半群替换为与平凡扩张弱等价的可滤交叉微分代数，提供了一条化解幺半群的路径。
• 带连接的立方体 $\omega$-群丛为自同构理论提供了张量闭合的设定，推广了球形 $\infty$-群丛的作用。