[论文解读] Possible indices for the Galois image of elliptic curves over Q

David Zywina|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用 4

一句话总结

该论文分类了在非CM椭圆曲线上的Galoi图像在GL₂(Ẑ)中的可能有限指数，表明在模ℓ满射性的一个猜想下，该指数必须属于一个包含28个整数的特定有限集合𝒟。在该猜想成立的前提下，指数有界且仅依赖于j-不变量，仅有有限多个例外的j-不变量被排除。

ABSTRACT

For a non-CM elliptic curve $E$ over the rationals, the Galois action on its torsion points can be expressed in terms of a Galois representation $ρ_E : G o GL_2(\hat{\mathbb{Z}})$, where $G$ is the absolute Galois group of the rationals. A well-known theorem of Serre says that the image of $ρ_E$ is open and hence has finite index in $GL_2(\hat{\mathbb{Z}})$. We will study what indices are possible assuming that we are willing to exclude a finite number of possible $j$-invariants from consideration. For example, we will show that there is a finite set $J$ of rational numbers such that if $E/\mathbb{Q}$ is a non-CM elliptic curve with $j$-invariant not in $ J$ and with surjective mod $\ell$ representations for all $\ell >37$ (which conjecturally always holds), then the index $[GL_2(\hat{\mathbb{Z}}) : ρ_E(G)]$ lies in the set \[ I:= \left\{\begin{array}{c}2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 20, 24, 30, 32, 36, 40, 48, 54, 60, 72, 84, 96, 108, 112,120, 144, \\192, 220, 240, 288, 336, 360, 384, 504, 576, 768, 864, 1152, 1200, 1296, 1536 \end{array} ight\}. \] Moreover, $I$ is the minimal set with this property.

研究动机与目标

• 确定在ℚ上非CM椭圆曲线E的可能有限指数集合[GL₂(Ẑ) : ρ_E(Gal_ℚ)]。
• 识别出哪些j-不变量会产生超出最小有限集合的例外指数。
• 在模ℓ满射性猜想下，证明指数仅依赖于E的j-不变量。
• 通过证明仅在集合𝒟中的指数会无限次出现，来证明指数集合的最小性。

提出的方法

• 使用Serre的开像定理来分析Galois表示ρ_E : Gal_ℚ → GL₂(Ẑ)的像。
• 应用猜想：对所有ℓ > 37，ρ_E,ℓ是满射，这表明像为开集且具有有限指数。
• 将指数分类问题约化为研究与Galois图像群相关的同余子群和模曲线X_G(N)。
• 利用Faltings关于亏格≥2的曲线有理点的定理，证明例外j-不变量的有限性。
• 在p进位置进行局部分析并应用Tate曲线理论，证明对大ℓ的模ℓ满射性。
• 应用密度论证和稀集理论，证明具有给定指数的j-不变量集合为无限集当且仅当该指数属于集合𝒟。

实验结果

研究问题

• RQ1 在ℚ上非CM椭圆曲线的扭点Galois表示图像的可能有限指数有哪些？
• RQ2 是否可以在所有ℚ上非CM椭圆曲线中统一有界地界定指数[GL₂(Ẑ) : ρ_E(Gal_ℚ)]？
• RQ3 哪些j-不变量会产生超出最小有限集合的指数？有多少个这样的例外j-不变量？
• RQ4 是否恰好是集合𝒟 = {2,4,6,...,1536}中的指数会无限次出现在某些j-不变量上？
• RQ5 在假设对大ℓ的模ℓ满射性成立的前提下，指数能否仅由E的j-不变量确定？

主要发现

• 对于ℚ上所有非CM椭圆曲线E，若其j-不变量不属于有限例外集合J，则指数[GL₂(Ẑ) : ρ_E(Gal_ℚ)]属于有限集合𝒟 = {2,4,6,8,10,12,16,20,24,30,32,36,40,48,54,60,72,84,96,108,112,120,144,192,220,240,288,336,360,384,504,576,768,864,1152,1200,1296,1536}。
• 集合𝒟是最小的：对于任意n ∉ 𝒟，满足[GL₂(Ẑ) : ρ_E(Gal_ℚ)] = n的j-不变量j_E的集合是有限的。
• 对于𝒟中的指数n，具有该指数的j-不变量j_E的集合是无限的，这表明𝒟捕获了所有会无限次出现的可能指数。
• 例外集合J至少包含13个CM j-不变量以及额外的非CM j-不变量，如−7·11³和−7·137³·2083³，这些j-不变量对应的指数≥2736。
• 在ρ_E,ℓ对所有ℓ > 37为满射的条件下，指数完全由j-不变量j_E决定。
• 集合𝒟的构造依赖于Faltings定理的非有效界，使得例外集合J无法被显式计算。