[论文解读] Possible loss and recovery of Gibbsianness during the stochastic evolution of Gibbs measures

Aernout C. D. van Enter, Roberto Fernández+2 more|May 2, 2001

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用 14

一句话总结

本文研究了在 Glauber 动力学下，从初始 Gibbs 测度 ν 到可逆 Gibbs 测度 μ 的 Ising 自旋系统随机演化过程，表明时间演化测度 νS(t) 可在 Gibbs 态与非 Gibbs 态之间转换。令人惊讶的是，即使从低温加热至高温，测度也可能在中间时间失去 Gibbs 性，甚至在某些情况下恢复 Gibbs 性，这挑战了高温极限始终表现良好的直觉。

ABSTRACT

We consider Ising-spin systems starting from an initial Gibbs measure $ν$ and evolving under a spin-flip dynamics towards a reversible Gibbs measure $μ ot=ν$. Both $ν$ and $μ$ are assumed to have a finite-range interaction. We study the Gibbsian character of the measure $νS(t)$ at time $t$ and show the following: (1) For all $ν$ and $μ$, $νS(t)$ is Gibbs for small $t$. (2) If both $ν$ and $μ$ have a high or infinite temperature, then $νS(t)$ is Gibbs for all $t>0$. (3) If $ν$ has a low non-zero temperature and a zero magnetic field and $μ$ has a high or infinite temperature, then $νS(t)$ is Gibbs for small $t$ and non-Gibbs for large $t$. (4) If $ν$ has a low non-zero temperature and a non-zero magnetic field and $μ$ has a high or infinite temperature, then $νS(t)$ is Gibbs for small $t$, non-Gibbs for intermediate $t$, and Gibbs for large $t$. The regime where $μ$ has a low or zero temperature and $t$ is not small remains open. This regime presumably allows for many different scenarios.

研究动机与目标

• 分析从有限范围 Gibbs 测度 ν 出发、在自旋翻转动力学下演化至可逆 Gibbs 测度 μ ≠ ν 时，时间演化测度 νS(t) 的 Gibbs 性质。
• 确定 νS(t) 在时间上保持 Gibbs 性或变为非 Gibbs 性的条件，特别是在快速加热（从低温到高温）的非淬火区域。
• 研究在初始和最终状态均为 Gibbs 态的情况下，演化过程中是否可能出现瞬态非 Gibbs 性。
• 探讨磁场和温度区域在决定条件概率结构及本质不连续性存在性方面的作用。

提出的方法

• 利用后向马氏过程的 Feller 性质，通过条件概率的正则性来刻画 νS(t) 的 Gibbs 性质。
• 应用 [9] 第四章中的准则，识别坏配置——即条件概率中存在本质不连续性的配置——以指示非 Gibbs 性。
• 研究依赖于转移核和条件期望的表示，通过半群 S(t) 表达，特别是通过可逆动力学的对偶半群 S*(t)。
• 作者研究淬火关联的衰减，并利用 Kozlov 定理框架探讨非 Gibbs 区域中的弱 Gibbs 性。
• 利用大偏差和相对熵密度控制收敛性，并建立测度时间演化过程的界。
• 理论结果针对有限范围相互作用推导，特别关注高温极限和零场极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 在从低温初始状态随机演化至高温稳态的条件下，时间演化测度 νS(t) 在何种情况下会失去 Gibbs 性？
• RQ2 在相同动力学下，中间时间的非 Gibbs 态是否可能恢复 Gibbs 性？非零磁场在此恢复过程中起什么作用？
• RQ3 从 Gibbs 态到非 Gibbs 态的转变是否具有尖锐性？其是否可唯一通过交替自旋构型等坏配置的出现来表征？
• RQ4 过渡时间 t_i 如何依赖于初始和最终温度、磁场以及 ν 和 μ 中的相互作用范围？
• RQ5 当 νS(t) 不是 Gibbs 测度时，弱 Gibbs 性在多大程度上可被建立？淬火关联的衰减如何支持此类构造？

主要发现

• 对于所有初始 Gibbs 测度 ν 和可逆的高温或无限温动力学 μ，测度 νS(t) 在所有小 t > 0 时保持 Gibbs 性。
• 当 ν 和 μ 均处于高温或无限温时，νS(t) 在所有 t > 0 时保持 Gibbs 性。
• 若 ν 处于低温非零温度且磁场为零，而 μ 处于高温或无限温，则 νS(t) 在大 t 时变为非 Gibbs 性，尽管其趋近于一个行为良好的高温极限。
• 若 ν 处于低温非零温度且磁场非零，而 μ 处于高温或无限温，则 νS(t) 在小 t 时为 Gibbs 性，中间 t 时为非 Gibbs 性，大 t 时恢复 Gibbs 性。
• 从非 Gibbs 性到 Gibbs 性的转变与非零磁场的存在相关，且在零场情况下未观察到该现象。
• 当 μ 处于低温或零温且 t 较大时的区域仍为开放问题，预期将出现涉及亚稳态和相变的复杂、非普遍的行为。