[论文解读] Post-Newtonian methods: Analytic results on the binary problem

Gerhard Schaefer|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2009

Pulsars and Gravitational Waves Research参考文献 4被引用 7

一句话总结

本文提出了一套广义相对论中后牛顿（PN）近似方法的综合分析框架，采用谐和坐标与ADM广义各向同性坐标，推导双星系统的保守动力学。该研究实现了高阶次的自旋双星哈密顿量，将引力辐射波形计算至远场区域1.5 PN阶，通过维度正规化方法处理狄拉克δ函数以解决黑洞建模中的技术难题，从而在弱场极限下强场违反的情况下仍能实现一致的PN展开。

ABSTRACT

A detailed account is given on approximation schemes to the Einstein theory of general relativity where the iteration starts from the Newton theory of gravity. Two different coordinate conditions are used to represent the Einstein field equations, the generalized isotropic ones of the canonical formalism of Arnowitt, Deser, and Misner and the harmonic ones of the Lorentz-covariant Fock-de Donder approach. Conserved quantities of isolated systems are identified and the Poincaré algebra is introduced. Post-Newtonian expansions are performed in the near and far (radiation) zones. The natural fitting of multipole expansions to post-Newtonian schemes is emphasized. The treated matter models are ideal fluids, pure point masses, and point masses with spin and mass-quadrupole moments modelling rotating black holes. Various Hamiltonians of spinning binaries are presented in explicit forms to higher post-Newtonian orders. The delicate use of black holes in post-Newtonian expansion calculations and of the Dirac delta function in general relativity find discussions.

研究动机与目标

• 从牛顿引力出发，发展一套系统化的广义相对论后牛顿近似方案。
• 比较并统一两种主要坐标框架：谐和（福克-德·敦德）坐标与ADM广义各向同性坐标。
• 推导孤立系统在PN理论中的守恒量与庞加莱代数。
• 在PN展开中使用狄拉克δ函数对具有质量四极矩的自旋点质量与黑洞进行建模。
• 计算远场区域中至1.5 PN阶的引力波形，包括自旋与尾部效应。

提出的方法

• 在谐和坐标与ADM广义各向同性坐标下应用爱因斯坦场方程，推导PN展开。
• 使用天然适配PN方案的多极展开，以建模引力辐射与近场动力学。
• 应用维度正规化处理强场区域中的狄拉克δ函数，确保高阶PN计算的一致性。
• 推导自旋双星在高阶PN次的显式哈密顿量，包含自旋-轨道与自旋-自旋耦合项。
• 在横向-迹零规范下，通过轨道相位调制与尾部效应的对数修正，计算引力波形。
• 利用维里定理将 $ v^2/c^2 $ 与 $ GM/c^2 r $ 关联，实现束缚系统中一致的PN排序。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在谐和坐标与ADM坐标系中一致地推导后牛顿展开？二者是否得到等价结果？
• RQ2 多极展开在PN理论中如何连接近场与远场动力学？
• RQ3 如何在PN方案中利用狄拉克δ函数对具有自旋与质量四极矩的黑洞进行建模？
• RQ4 尾部修正对引力波形有何影响？它们如何编码于相位演化中？
• RQ5 自旋-轨道与自旋-自旋相互作用在高阶PN次的哈密顿量与波形中起何作用？

主要发现

• 本文推导出自旋双星系统在高阶后牛顿次的显式哈密顿量，包含自旋-轨道与自旋-自旋耦合项。
• 远场区域的引力辐射波形计算至1.5 PN阶，包括自旋与尾部效应贡献，$ h_+ $ 与 $ h_\times $ 的显式表达式以轨道相位与倾角表示。
• 尾部效应引起的对数相位修正源于轨道相位 $ \psi $ 中的 $ x^{3/2} \ln(x/x_0) $ 项，其中 $ x = (GM\omega/c^3)^{1/3} $。
• 确认维度正规化在PN展开中处理黑洞建模时狄拉克δ函数的作用至关重要，可解决非线性奇点问题。
• 在高阶次下，谐和坐标与ADM坐标方法结果一致，验证了不同形式体系下PN方法的一致性。
• 1.5 PN阶远场波形包含自旋调制、质量不对称性 $ \delta m/m $ 与倾角相关的极化函数 $ F_+ $、$ F_\times $，显式依赖于 $ \cos i $、$ \sin i $ 与 $ \psi $。