[论文解读] Posterior propriety in Bayesian extreme value analyses using reference priors

Paul J. Northrop, Nicolas Attalides|UCL Discovery (University College London)|May 19, 2015

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 37被引用 13

一句话总结

本文研究了在广义帕累托（GP）和极值分布（GEV）分布中使用参考先验时后验分布的合理性。研究发现，MDI先验在GP或GEV分布中永远无法产生合理的后验分布，Jeffreys先验在GEV分布中也失败，但独立的均匀先验在仅3个（GP）或4个（GEV）观测值的情况下即可产生合理的后验分布。

ABSTRACT

The Generalized Pareto (GP) and Generalized extreme value (GEV) distributions play an important role in extreme value analyses, as models for threshold excesses and block maxima respectively. For each of these distributions we consider Bayesian inference using "reference" prior distributions (in the general sense of priors constructed using formal rules) for the model parameters, specifically a Jeffreys prior, the maximal data information (MDI) prior and independent uniform priors on separate model parameters. We investigate the important issue of whether these improper priors lead to proper posterior distributions. We show that, in the GP and GEV cases, the MDI prior, unless modified, never yields a proper posterior and that in the GEV case this also applies to the Jeffreys prior. We also show that a sample size of three (four) is sufficient for independent uniform priors to yield a proper posterior distribution in the GP (GEV) case.

研究动机与目标

• 评估非 informative 参考先验（Jeffreys、MDI 和独立均匀先验）在极值模型贝叶斯推断中是否能产生合理的后验分布。
• 解决在GP和GEV分布中使用非信息先验时后验合理性的不确定性，这对有效的贝叶斯推断至关重要。
• 建立在均匀先验下产生合理后验所需的最小样本量，以确保计算和理论上的有效性。
• 阐明不当先验导致不当后验的条件，避免在极值分析中产生误导性的MCMC输出。

提出的方法

• 通过三种参考先验（Jeffreys、MDI 和模型参数上的独立均匀先验）推导GP和GEV模型的联合后验密度。
• 应用正式的数学分析，评估后验密度的可积性，重点关注不当先验及其对后验合理性的影响力。
• 使用变量替换和积分界（例如，通过伽马函数恒等式）来评估参数空间上后验积分的收敛性。
• 在证明中使用诸如 $ u = (y_1 - \theta)^{-1} $ 和 $ x = -1/\theta $ 等代换，以转换并界定复杂积分。
• 应用已知的积分恒等式（例如，来自Gradshteyn和Ryzhik的公式）来评估或界定后验归一化常数。
• 分析后验密度在不同参数区域（例如，$ \theta < -1 $，$ -1 \leq \theta \leq 0 $，$ \theta > 0 $）下的行为，以确定其可积性。

实验结果

研究问题

• RQ1 MDI先验是否能为广义帕累托（GP）分布产生合理的后验分布？
• RQ2 Jeffreys先验是否能为广义极值（GEV）分布产生合理的后验分布？
• RQ3 独立均匀先验在GP和GEV模型中产生合理后验所需的最小样本量是多少？
• RQ4 在何种条件下，不当参考先验会导致极值模型中的不当后验？

主要发现

• 无论样本大小如何，MDI先验在GP或GEV分布中均无法产生合理的后验分布。
• 即使样本量很大，Jeffreys先验在GEV分布中也无法产生合理的后验分布。
• 对于GP分布，独立均匀先验在至少三个观测值的情况下可产生合理的后验分布。
• 对于GEV分布，独立均匀先验在至少四个观测值的情况下可产生合理的后验分布。
• 当 $ n=4 $ 时，GEV模型的归一化常数 $ K_4 $ 为有限值，证实了 $ n \geq 4 $ 时后验的合理性。
• 用于评估后验合理性的积分（例如，$ J_1, J_2, J_3 $）在指定参数范围内有界且有限，证实了其可积性。