[论文解读] Potential theory in several quaternionic variables

Dongrui Wan|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用 9

一句话总结

本文通过引入一种基于四元数蒙日-安培算子 $(\triangle u)^n$ 的四元数容量 $C^*(E,\Omega)$，在 $\mathbb{H}^n$ 上建立了四元数势论。该容量将拟全纯次调和函数的 $(-\infty)$-集表征为容量为零的集合，等价于可忽略集。通过 Bedford-Taylor 方法，证明了 Josefson 定理：在 $\mathbb{H}^n$ 中，局部四元数极集与全局四元数极集等价，从而将复值拟全纯势论中的关键结果推广至四元数情形。

ABSTRACT

In this paper, we establish the quaternionic versions of the potential description of various "small" sets related to the quaternionic plurisubharmonic functions in $\mathbb{H}^n$. We use the quaternionic capacity introduced in \cite{wan4} to characterize the $(-\infty)$-sets of plurisubharmonic functions, as the sets of the vanishing capacity. The latter requirement is also equivalent to the negligibility of the set. We also prove the Josefson's theorem on the equivalence of the locally and globally quaternionic polar sets in $\mathbb{H}^n$, following the method of Bedford-Taylor.

研究动机与目标

• 为四元数拟全纯势论中的小集合建立一个势论框架。
• 通过新定义的四元数容量，表征四元数拟全纯次调和函数的 $(-\infty)$-集。
• 在 $\mathbb{H}^n$ 中，通过 Bedford-Taylor 方法证明 Josefson 定理：局部四元数极集与全局四元数极集等价。
• 证明 $\mathbb{H}^n$ 中的可忽略集（通过有界 PSH 函数上包络定义）恰好与四元数极集一致。

提出的方法

• 基于四元数蒙日-安培算子 $(\triangle u)^n$ 引入四元数容量 $C^*(E,\Omega)$。
• 利用四元数 Hessian 矩阵与 Moore 衍生行列式，通过 Baston 算子 $\triangle$（由微分形式 $d_0, d_1$ 定义）实现。
• 应用上半连续正则化 $u^*$ 定义容量，并研究其连续性与次可加性。
• 利用四元数拟全纯次调和函数的比较原理与拟连续性，分析容量的行为。
• 应用 Choquet 容量理论，证明所有 Suslin 集都是可容量的，即 $C^*(E,\Omega) = C(E,\Omega)$。
• 证明一个集合可忽略当且仅当其容量为零，从而确立其与极集的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 四元数拟全纯次调和函数的 $(-\infty)$-集能否在 $\mathbb{H}^n$ 中通过容量理论框架表征？
• RQ2 在 $\mathbb{H}^n$ 中，局部四元数极集的定义是否与全局四元数极集等价，如同复情形一般？
• RQ3 四元数容量 $C^*(E,\Omega)$ 是否满足强拟凸域上广义容量的公理？
• RQ4 在 $\mathbb{H}^n$ 中，通过有界 PSH 函数上包络定义的可忽略集，是否恰好是四元数容量为零的集合？

主要发现

• 四元数拟全纯次调和函数的 $(-\infty)$-集恰好是四元数容量为零的集合。
• 在 $\mathbb{H}^n$ 中，集合 $P \subseteq \mathbb{H}^n$ 为全局四元数极集当且仅当 $C^*(P,\mathbb{H}^n) = 0$，从而建立了容量理论表征。
• 本文证明了 Josefson 定理：在 $\mathbb{H}^n$ 中，每个局部四元数极集都是全局四元数极集，论证方式仿照 Bedford-Taylor 方法。
• 在 $\mathbb{H}^n$ 中，定义为 $\{q \in \Omega : u(q) < u^*(q)\}$ 的可忽略集（其中 $u = \sup u_\alpha$ 为上包络）恰好是四元数容量为零的集合。
• 函数 $E \mapsto C^*(E,\Omega)$ 是强拟凸域上的广义容量，满足连续性与单调性性质。
• 所有 $\Omega$ 中的 Suslin 集（特别是 Borel 集）都是可容量的，即 $C^*(E,\Omega) = C(E,\Omega)$，确保容量在可测集上行为良好。