[论文解读] Precise rates in the law of the iterated logarithm

Zhang Li|ArXiv.org|Oct 17, 2006

Probability and Risk Models参考文献 6被引用 12

一句话总结

本文在迭代对数定律的背景下，为独立同分布随机变量部分和与最大值的尾概率建立了精确的渐近速率。通过强近似和截断技术，在最小矩条件之下，推导出加权概率和 $σ\phi(n)(\epsilon + a_n(\epsilon))$ 的收敛速率的精确常数，推广并改进了 Gut 和 Spätaru（2000）的先前结果。关键贡献在于识别出这些精确速率的严格矩条件，包括条件 $\mathbb{E}[X^2 I\{|X| \geq t\}] = o((\log\log t)^{-1})$ 的最优性。结果适用于一般独立同分布序列，其均值为零、方差有限，且精确常数涉及伽马函数和依赖于 $a_n(\epsilon)$ 收敛速率的指数项。本文还证明了矩条件的必要性，并建立了尾部条件的紧致性。

ABSTRACT

Let $X$, $X_1$, $X_2$, $...$ be i.i.d. random variables, and let $S_n=X_1+... + X_n$ be the partial sums and $M_n=\max_{k\le n}|S_k|$ be the maximum partial sums. We give the sufficient and necessary conditions for a kind of limit theorems to hold on the convergence rate of the tail probabilities of both $S_n$ and $M_n$. These results are related to the law of the iterated logarithm. The results of Gut and Spataru (2000) are special cases of ours.

研究动机与目标

• 为概率 $\mathbb{P}(M_n \geq \sigma\phi(n)(\epsilon + a_n(\epsilon)))$ 和 $\mathbb{P}(|S_n| \geq \sigma\phi(n)(\epsilon + a_n(\epsilon)))$ 建立精确渐近速率，其中 $\epsilon \downarrow \sqrt{1+a}$，$a > -1$，$b > -1/2$，且 $a_n(\epsilon)\log\log n \to \tau$。
• 通过识别收敛速率的最小必要与充分矩条件，推广并改进 Gut 和 Spätaru（2000）的精确渐近结果。
• 证明条件 $\mathbb{E}[X^2 I\{|X| \geq t\}] = o((\log\log t)^{-1})$ 是紧致的，即若其被削弱，则渐近结果不再成立。
• 将分析扩展至 $\epsilon \downarrow 0$ 的情形，采用不同缩放方式，得到关于 $\epsilon^{2(b+1)}$ 加权和的结果，其中涉及 $\log\log n$ 项。

提出的方法

• 本文采用强近似技术，将部分和过程 $S_n$ 和最大值过程 $M_n$ 与标准布朗运动 $W(t)$ 耦合，从而可将非正态概率替换为高斯过程的概率。
• 借鉴 Feller（1945）和 Einmahl（1989）的截断方法，控制独立同分布和项的尾部行为，将 $X$ 分解为截断部分与余项部分。
• 分析过程首先在正态分布假设下验证渐近结果（命题 2.1），然后通过近似与耦合论证将其推广至一般独立同分布序列。
• 关键技术步骤在于证明加权和 $\sum_{n=1}^\infty \frac{("\log n)^a (\log\log n)^b}{n} \mathbb{P}(M_n \geq \sigma\phi(n)(\epsilon + a_n(\epsilon)))$ 沿 $\epsilon \downarrow \sqrt{1+a}$ 收敛至一个包含 $\Gamma(b+1/2)$、$\sqrt{1/\pi(a+1)}$ 和 $\exp(-2\tau\sqrt{1+a})$ 的常数。
• 通过反证法证明矩条件的必要性：假设渐近结果成立但 $\mathbb{E}[X^2 (\log|X|)^a (\log\log|X|)^{b-1}] = \infty$，将导致加权和收敛性的矛盾。
• 通过构造反例证明条件 $\mathbb{E}[X^2 I\{|X| \geq t\}] = o((\log\log t)^{-1})$ 的紧致性：当该条件不成立时，渐近结果失效。

实验结果

研究问题

• RQ1 在最小矩条件下，当 $\epsilon \downarrow \sqrt{1+a}$ 时，$\mathbb{P}(M_n \geq \sigma\phi(n)(\epsilon + a_n(\epsilon)))$ 的精确渐近速率为何？其中 $a > -1$，$b > -1/2$。
• RQ2 渐近常数如何依赖于参数 $a$、$b$ 以及 $a_n(\epsilon)\log\log n$ 的极限 $\tau$？
• RQ3 条件 $\mathbb{E}[X^2 I\{|X| \geq t\}] = o((\log\log t)^{-1})$ 对于精确渐近成立是否必要且紧致？
• RQ4 当 $\epsilon \downarrow 0$ 时，精确速率为何？其与 $\epsilon \downarrow \sqrt{1+a}$ 情形在缩放方式与常数上如何不同？
• RQ5 在何种矩条件下，加权和 $\sum_{n=1}^\infty \frac{( \log n)^a (\log\log n)^b}{n} \mathbb{P}(M_n \geq \sigma\phi(n)(\epsilon + a_n(\epsilon)))$ 收敛于有限非零极限？

主要发现

• 当 $\epsilon \downarrow \sqrt{1+a}$ 时，加权和 $\sum_{n=1}^\infty \frac{( \log n)^a (\log\log n)^b}{n} \mathbb{P}(M_n \geq \sigma\phi(n)(\epsilon + a_n(\epsilon)))$ 的极限精确为 $2\sqrt{\frac{1}{\pi(a+1)}} \Gamma(b+1/2) \exp(-2\tau\sqrt{1+a})$，其中 $\tau = \lim_{n \to \infty} a_n(\epsilon) \log\log n$。
• 对于绝对值和的情形，极限为上述值的一半：$\sqrt{\frac{1}{\pi(a+1)}} \Gamma(b+1/2) \exp(-2\tau\sqrt{1+a})$，反映出最大值与绝对和具有不同的尾部行为。
• 条件 $\mathbb{E}[X^2 I\{|X| \geq t\}] = o((\log\log t)^{-1})$ 是紧致的：若其不成立，则渐近结果不再成立，反例已构造验证其发散性。
• 渐近结果成立的必要且充分条件为：$\mathbb{E}[X] = 0$，$\mathbb{E}[X^2] = \sigma^2 < \infty$，且 $\mathbb{E}[X^2 (\log|X|)^a (\log\log|X|)^{b-1}] < \infty$，前两个条件为迭代对数定律适用所必需。
• 在 $\epsilon \downarrow 0$ 情形下，$\epsilon^{2(b+1)} \sum_{n=1}^\infty \frac{( \log\log n)^b}{n\log n} \mathbb{P}(M_n \geq \sigma\phi(n)(\epsilon + a_n))$ 的极限为 $\frac{2}{(b+1)\sqrt{\pi}} \Gamma(b+3/2) \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)^{2b+2}}$，其为包含无穷级数的常数。
• 在 $\epsilon \downarrow 0$ 情形下，$|S_n|$ 的结果为上述值的一半：$\frac{1}{(b+1)\sqrt{\pi}} \Gamma(b+3/2)$，再次反映出最大值与和的尾部行为差异。