[论文解读] Preconditioning for a Variational Quantum Linear Solver

Aruto Hosaka, Koichi Yanagisawa+4 more|arXiv (Cornell University)|Dec 25, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文通过不完全LU（ILU）分解预条件化，提升NISQ设备上变分量子线性求解器（VQLS）的性能。通过改善稀疏线性系统的谱性质，预条件化将10个随机$128\times128$稀疏矩阵的所需量子电路深度减少高达50%，显著提升收敛性与抗噪声能力，且未增加状态制备的量子电路深度或门数。

ABSTRACT

We apply preconditioning, which is widely used in classical solvers for linear systems $A extbf{x}= extbf{b}$, to the variational quantum linear solver. By utilizing incomplete LU factorization as a preconditioner for linear equations formed by $128 imes128$ random sparse matrices, we numerically demonstrate a notable reduction in the required ansatz depth, demonstrating that preconditioning is useful for quantum algorithms. This reduction in circuit depth is crucial to improving the efficiency and accuracy of Noisy Intermediate-Scale Quantum (NISQ) algorithms. Our findings suggest that combining classical computing techniques, such as preconditioning, with quantum algorithms can significantly enhance the performance of NISQ algorithms.

研究动机与目标

• 通过利用经典预条件化技术，解决VQLS中高量子电路深度与随机梯度消失问题的挑战。
• 探究预条件化是否可减少变分量子算法中获得精确解所需的量子电路深度。
• 评估预条件化对VQLS中线性系统收敛性与谱性质的影响。
• 在混合量子-经典求解器中，平衡经典计算成本与量子资源减少之间的权衡。

提出的方法

• 对稀疏矩阵应用不完全LU（ILU）分解，仅保留原始矩阵中的非零元素，以维持稀疏性。
• 使用ILU预条件子$M = \tilde{L}\tilde{U}$将线性系统变换为$M^{-1}A\mathbf{x} = M^{-1}\mathbf{b}$，以改善条件数与谱分布。
• 采用硬件高效量子电路，交替使用RY门与CNOT门，通过经典优化旋转角$\theta$进行参数调优。
• 通过代价函数最小化与精确解（通过矩阵求逆获得）的残差误差评估性能。
• 在10个随机生成的$128\times128$稀疏矩阵上，对比不同量子电路深度（1–20）下VQLS有无预条件化时的性能表现。
• 分析预条件化前后奇异值分布的变化，以评估谱条件与量子纠缠的减少情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 预条件化是否可减少VQLS中稀疏线性系统所需的量子电路深度？
• RQ2 ILU预条件化如何影响VQLS代价函数与残差误差的收敛性？
• RQ3 预条件化是否使奇异值分布更均匀，表明矩阵条件数得到改善？
• RQ4 在VQLS中，经典预条件化计算成本与量子电路深度减少之间存在何种权衡？

主要发现

• 在全部10组测试案例中，预条件化将所需量子电路深度减少高达50%，且在深度20时收敛性表现一致提升。
• 在10,000次优化迭代后，采用预条件化的VQLS相比未预条件化版本，残差误差显著更低。
• 预条件化后奇异值分布更加均匀，表明谱条件改善且矩阵条件数降低。
• 平均代价函数在应用预条件化后收敛更快且达到更低值，尤其在低电路深度下表现更优。
• 预条件化通过使矩阵更接近单位矩阵，减少了量子电路对纠缠的需求，从而减轻了量子线路的表达能力负担。
• 该改进在全部10个随机生成的稀疏矩阵上均保持一致，证明了该方法的鲁棒性。