[论文解读] Presymplectic manifolds

Bogusław Hajduk, R. Walczak|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文建立了奇维流形上预辛结构的基础结果——即配备最大秩闭2-形式的奇维流形，证明了将预辛形式包含于非退化2-形式中的映射即使在无上同调限制下也是同伦等价。这使得变形技巧与手术构造成为可能，表明任一预辛流形可通过在闭Reeb轨道上进行Reeb手术变为单连通，并且任一3-流形都可赋予预辛结构。

ABSTRACT

A presymplectic structure on odd dimensional manifold is given by a closed 2-form which is nondegenerate, i.e., of maximal rank. We investigate geometry of presymplectic manifolds. Some basic theorems analogous to those in symplectic and contact topology are given and applied to study constructions of presymplectic manifolds. In particular, we describe how to glue presymplectic manifolds along a presymplectic submanifold, including surgery along a presymplectic circles.

研究动机与目标

• 建立奇维流形上预辛结构的同伦理论框架。
• 证明在无上同调约束下，预辛形式空间与非退化2-形式空间同伦等价。
• 基于Reeb叶状结构与闭轨道，发展预辛流形的手术理论。
• 证明任一预辛流形可通过在Reeb圆周上手术变为单连通。
• 研究将预辛形式实现为恰当形式（即 $\omega = d\alpha$）的障碍，及其与接触结构的关系。

提出的方法

• 利用纤维丛 $\Omega^+(\mathbb{R}^{2n}) \to \Omega(\mathbb{R}^{2n+1}) \to S^{2n}$ 证明预辛形式空间是单连通的。
• 应用Gromov关于辛形式的定理，将 $M \times \mathbb{R}$ 上的非退化2-形式形变为辛形式，再限制到 $M \times \{0\}$ 以获得预辛形式。
• 在 $M \times \mathbb{R}$ 上构造辛形式 $\phi = p^*\omega + \delta(d\theta \wedge \eta - \theta\,d\eta)$，以实现预辛形式的形变。
• 使用相对形变定理，在同伦过程中保持紧致集邻域内的预辛结构不变。
• 在嵌入的圆上实施经典手术，这些圆是Reeb叶状结构的闭轨道，以 $S^{2n+1}$ 作为模型。
• 识别Reeb丛 $\mathcal{R} = \{V \in T_xM \mid \iota_V \omega = 0\}$ 及其在定义Reeb叶状结构与向量场中的作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无上同调假设下，将预辛形式包含于非退化2-形式中的映射是否为同伦等价？
• RQ2 任一预辛流形是否可通过在闭Reeb轨道上手术变为单连通？
• RQ3 预辛形式为接触型（即 $\omega = d\alpha$）时存在哪些障碍？
• RQ4 每个闭的、同伦意义下的辛流形是否都存在辛形式？
• RQ5 若 $M \times S^1$ 是辛的，则 $M$ 是否必纤维化于 $S^1$？

主要发现

• 对于任意上同调类 $a$，包含映射 $\mathbb{S}_{\text{presymp}}(M,a) \hookrightarrow \mathcal{S}_{\text{non-deg}}(M)$ 是同伦等价，即使不假设 $a$ 是闭的。
• 任一闭的奇维流形上最大秩的2-形式，可通过此类形式的形变转化为预辛形式。
• 任一定向3-流形都可赋予预辛结构，因为其平行化，故存在非退化2-形式。
• 关于Reeb叶状结构的基本上同调类的消失是预辛形式为接触型的障碍。
• 对闭Reeb轨道进行预辛手术可消除 $\pi_1(M)$ 中的同伦类，若所有生成元均由此类轨道代表，则流形变为单连通。
• 对于给定的非退化2-形式同伦类及上同调类 $a \in H^2(M,\mathbb{R})$，存在该类中的预辛形式，使得任意有限个 $\pi_1(M)$-生成元均可由嵌入的圆作为闭Reeb轨道实现。