[论文解读] Pricing Interest Rate Derivatives under Volatility Uncertainty

Julian H olzermannBielefeld University|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 40被引用 5

一句话总结

本文提出了一套稳健的框架，用于在波动率不确定条件下对利率衍生品进行定价，采用 G-几何布朗运动来建模随机波动率。通过引入前向次线性期望，推导出稳健的定价公式，表明波动率不确定性导致未被对冲的随机波动率以及一系列可能的价格，而非单一价格。

ABSTRACT

We study the pricing of contracts in fixed income markets in the presence of volatility uncertainty. The starting point is an arbitrage-free bond market under volatility uncertainty. The uncertainty about the volatility is modeled by a G-Brownian motion, which drives the forward rate dynamics. The absence of arbitrage is ensured by a drift condition. Such a setting leads to a sublinear pricing measure for additional contracts, which yields either a single price or a range of prices. Similar to the forward measure approach, we define the forward sublinear expectation to simplify the pricing of cashflows. Under the forward sublinear expectation, we obtain a robust version of the expectations hypothesis and we show how to price bond options. In addition, we develop pricing methods for contracts consisting of a stream of cashflows, since the nonlinearity of the pricing measure implies that we cannot price a stream of cashflows by pricing each cashflow separately. With these tools, we derive robust pricing formulas for all major interest rate derivatives. The pricing formulas provide a link to the pricing formulas of traditional models without volatility uncertainty and show that volatility uncertainty naturally leads to unspanned stochastic volatility.

研究动机与目标

• 解决在现实市场中波动率不确定时固定收益衍生品的定价挑战，这是普遍存在的问题。
• 通过 G-几何布朗运动建模波动率不确定性，该方法将标准几何布朗运动推广至允许波动率模糊性。
• 通过在次线性期望下对远期利率动态施加漂移条件，确保无套利。
• 开发一种系统化方法，用于在非线性定价测度下对现金流流进行定价，克服加法定价的局限性。
• 推导主要利率衍生品的稳健定价公式，将其与传统模型联系起来，同时捕捉波动率不确定的影响。

提出的方法

• 通过 G-几何布朗运动建模波动率不确定性，该方法诱导出一个次线性期望框架，以表示模型模糊性。
• 定义前向次线性期望，通过在模糊性下的远期测度中转移计价单位，简化现金流的定价。
• 在次线性期望下建立期望假设的稳健版本，表明远期利率不一定是鞅，但满足次线性版本的性质。
• 利用前向次线性期望和 G-几何布朗运动下远期利率的动态，显式推导债券期权的定价公式。
• 通过将现金流流整体处理而非逐个折现值相加，开发一种对现金流流进行定价的分解方法，以应对次线性测度的非线性特性。
• 通过展示当波动率不确定性消失时，稳健定价公式退化为标准公式，将稳健定价公式与经典模型联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 当波动率并非精确已知而是处于某一范围内时，如何对利率衍生品进行稳健定价？
• RQ2 在波动率不确定条件下，远期测度和期望假设的适当推广是什么？
• RQ3 次线性定价测度的非线性特性如何影响多个现金流的定价，与加法定价相比有何不同？
• RQ4 波动率不确定性以何种方式导致利率衍生品中的未对冲随机波动率？
• RQ5 利率衍生品的稳健定价公式与不存在波动率模糊性的经典模型中的公式有何关系？

主要发现

• 使用 G-几何布朗运动可一致地建模波动率不确定性，产生一个生成一系列可能价格而非单一价格的次线性定价测度。
• 前向次线性期望实现了期望假设的稳健版本，其中远期利率在远期测度下为次线性鞅。
• 在次线性框架下显式推导出债券期权的定价，表明在波动率不确定性下期权价格高于经典 Black 模型。
• 次线性测度的非线性特性破坏了现金流定价的可加性，因此必须联合处理现金流流以避免模型风险。
• 当波动率不确定性减弱时，利率衍生品的稳健定价公式退化为经典公式，表明与现有模型的一致性。
• 波动率不确定性自然导致未对冲的随机波动率，即远期利率的波动率无法通过交易其标的债券完全对冲。