[论文解读] Primal dual methods for Wasserstein gradient flows

José A. Carrillo, Katy Craig+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 79被引用 24

一句话总结

该论文提出了一种新颖的原始-对偶数值方法，用于求解源自多孔介质、材料科学和生物群集的非线性、非局部PDE，通过结合最优传输理论与算子分裂技术。该方法采用时间离散化的JKO或Crank-Nicolson格式，利用Benamou-Brenier对Wasserstein距离的动力学公式重新表述问题，并使用已证明收敛的原始-对偶算法求解具有线性约束的凸最小化问题，从而在模拟中实现稳定性、质量守恒、非负性以及能量递减行为，并获得更高阶的收敛性。

ABSTRACT

Combining the classical theory of optimal transport with modern operator splitting techniques, we develop a new numerical method for nonlinear, nonlocal partial differential equations, arising in models of porous media, materials science, and biological swarming. Our method proceeds as follows: First, we discretize in time, either via the classical JKO scheme or via a novel Crank-Nicolson type method we introduce. Next, we use the Benamou-Brenier dynamical characterization of the Wasserstein distance to reduce computing the solution of the discrete time equations to solving fully discrete minimization problems, with strictly convex objective functions and linear constraints. Third, we compute the minimizers by applying a recently introduced, provably convergent primal dual splitting scheme for three operators [Yan 2018]. By leveraging the PDEs' underlying variational structure, our method overcomes stability issues present in previous numerical work built on explicit time discretizations, which suffer due to the equations' strong nonlinearities and degeneracies. Our method is also naturally positivity and mass preserving and, in the case of the JKO scheme, energy decreasing. We prove that minimizers of the fully discrete problem converge to minimizers of the spatially continuous, discrete time problem as the spatial discretization is refined. We conclude with simulations of nonlinear PDEs and Wasserstein geodesics in one and two dimensions that illustrate the key properties of our approach, including higher order convergence our novel Crank-Nicolson type method, when compared to the classical JKO method.

研究动机与目标

• 开发一种针对由Wasserstein梯度流控制的非线性、非局部PDE的稳定、保持非负性且质量守恒的数值方法。
• 克服由于这些PDE中强非线性和退化性导致显式时间离散化中的稳定性问题。
• 通过Benamou-Brenier公式利用方程的变分结构，实现全离散凸优化。
• 提供一种可证明收敛的数值格式，以保持能量递减和质量守恒特性。
• 通过使用新型Crank-Nicolson型时间离散化，在模拟中展示更高阶的收敛性。

提出的方法

• 通过经典的JKO格式或新提出的Crank-Nicolson型格式进行时间离散化，以提高时间精度。
• 利用Benamou-Brenier对Wasserstein距离的动力学表征重新表述问题，将PDE演化转化为时间积分的最小化问题。
• 得到的全离散问题为具有严格凸目标函数和线性约束的凸优化问题，确保唯一极小值点。
• 应用最近发展的三算子原始-对偶分裂算法求解最小化问题，保证收敛性。
• 由于底层变分结构和约束实施，方法在构造上保持非负性和质量守恒。
• 证明了当空间分辨率提高时，离散极小值点收敛于连续问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一种原始-对偶方法，确保对由Wasserstein梯度流产生的非线性、非局部PDE具有稳定性和收敛性？
• RQ2 与经典的JKO格式相比，所提出的Crank-Nicolson型时间离散化在收敛阶方面表现如何？
• RQ3 该方法能否扩展用于计算具有可证明收敛性的Wasserstein测地线和距离？
• RQ4 该方法是否通过其变分公式本质上保持质量与非负性？
• RQ5 当空间分辨率提高时，离散极小值点的收敛行为如何？

主要发现

• 当使用新型Crank-Nicolson型格式时，该方法在时间上实现更高阶收敛，模拟结果优于经典的首阶JKO格式。
• 由于优化公式中的变分结构和约束实施，该方法在本质上保持非负性和质量守恒。
• 离散梯度流序列中能量递减，满足连续梯度流的能量递减特性。
• 随着空间分辨率的提高，全离散问题的极小值点收敛于连续、离散时间问题的极小值点。
• 该方法为计算Wasserstein测地线和距离提供了一种可证明收敛的数值格式，作为特例。
• 一维和二维的数值模拟证实了该方法在复杂PDE（包括多孔介质方程和Fokker-Planck方程）中的稳定性、精度和鲁棒性。