[论文解读] Prime congruences of idempotent semirings and a Nullstellensatz for tropical polynomials

Dániel Joó, Kalina Mincheva|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2014

Polynomial and algebraic computation参考文献 10被引用 21

一句话总结

本文通过扭曲积引入了加法幂等半环中新的素同余概念，通过证明在 ${\mathbb{T}}$、${\mathbb{Z}}_{\max}$ 或 ${\mathbb{B}}$ 上的多项式或洛朗多项式半环中，有限生成同余的根是 Krull 维数至多为 1 的商的素同余的交集，从而建立了热带 Nullstellensatz。最小素同余对应于单项序，根由广义扭曲幂公式表征。

ABSTRACT

A new definition of prime congruences in additively idempotent semirings is given using twisted products. This class turns out to exhibit some analogous properties to the prime ideals of commutative rings. In order to establish a good notion of radical congruences it is shown that the intersection of all primes of a semiring can be characterized by certain twisted power formulas. A complete description of prime congruences is given in the polynomial and Laurent polynomial semirings over the tropical semifield ${\pmb T}$, the semifield $\mathbb{Z}_{max}$ and the two element semifield $\mathbb{B}$. The minimal primes of these semirings correspond to monomial orderings, and their intersection is the congruence that identifies polynomials that have the same Newton polytope. It is then shown that every finitely generated congruence in each of these cases is an intersection of prime congruences with quotients of Krull dimension $1$. An improvement of a result of A. Bertram and R. Easton from 2013 is proven which can be regarded as a Nullstellensatz for tropical polynomials.

研究动机与目标

• 在加法幂等半环中发展一个稳健的素同余概念，使其类似于交换环中经典素理想的性质。
• 将同余的根表征为商的 Krull 维数至多为 1 的素同余的交集。
• 通过将同余的根与牛顿多面体和单项序等几何与组合数据联系起来，建立一个热带 Nullstellensatz。
• 证明所有素同余的交集可通过广义扭曲幂公式描述。
• 对 ${\mathbb{T}}$、${\mathbb{Z}}_{\max}$ 和 ${\mathbb{B}}$ 上的多项式与洛朗多项式半环中的素同余进行完整分类。

提出的方法

• 通过定义同余外的对偶扭曲积的非成员性质来定义素同余，灵感来源于环论中素理想的刻画。
• 引入广义扭曲幂公式以表征同余根中的成员资格。
• 使用与单项序相关的定义矩阵来对多项式与洛朗多项式半环中的素同余进行分类。
• 应用 Robbiano 对单项序的分类，证明最小素同余对应于此类序。
• 通过权向量的扰动论证，证明有限生成同余的根是 Krull 维数 ≤1 的素同余的交集。
• 通过证明在 ${\mathbb{T}}[\mathbf{x}]$ 中有 $E_+ = \mathbf{E}(V(E))$，建立几何零点集与代数根之间的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在加法幂等半环中重新定义素同余，使其反映类似于交换环中素理想之性质？
• RQ2 在 ${\mathbb{T}}$、${\mathbb{Z}}_{\max}$ 和 ${\mathbb{B}}$ 上的多项式与洛朗多项式半环中，素同余的结构是怎样的？
• RQ3 有限生成同余的根能否表征为低维商的素同余的交集？
• RQ4 是否存在一个热带版的 Nullstellensatz，将代数根与热带多项式的零点集联系起来？
• RQ5 牛顿多面体与单项序如何与素同余的结构及同余根的结构相关联？

主要发现

• 在 ${\mathbb{T}}[\mathbf{x}]$、${\mathbb{Z}}_{\max}[\mathbf{x}]$ 或 ${\mathbb{B}}[\mathbf{x}]$ 中，有限生成同余的根是所有商的 Krull 维数至多为 1 的素同余的交集。
• 这些半环中的最小素同余与单项序之间存在双射关系，且可通过定义矩阵进行分类，其行数等于商的 Krull 维数。
• 半环中所有素同余的交集可通过如下条件表征：某个广义扭曲幂的对属于该同余。
• 在 ${\mathbb{T}}[\mathbf{x}]$ 中，同余 $E_+$（即所有不包含 $(1,\epsilon)$ 的素同余的交集，其中 $\epsilon \neq 1$）等于 $\mathbf{E}(V(E))$，从而确立了热带 Nullstellensatz。
• 对于平凡同余 $\Delta$，根 $Rad(\Delta)$ 等于 $\Delta_+$，即所有不包含 $(1,\epsilon)$ 的素同余的交集，这等价于具有相同牛顿多面体的多项式对的集合。
• 在 ${\mathbb{T}}[\mathbf{x}]$ 中，几何同余 $\mathbf{E}(V(E))$ 与 $E_+$ 一致，表明在此设定下代数根与几何根一致。