[论文解读] Prime Labeling of Ladders

Ebrahim Ghorbani, Sara Kamali|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2016

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文证明了梯形图——即路径图与两顶点路径的笛卡尔积——具有素数标记，从而证实了一个长期存在的猜想。作者通过使用等差数列和模约束构造标记，确保所有相邻顶点对互素，并系统性地插入特殊整数以满足梯形中每个方格的交叉条件。

ABSTRACT

A prime labeling of a graph with $n$ vertices is a labeling of its vertices with distinct integers from $\{1, 2,\ldots , n\}$ in such a way that the labels of any two adjacent vertices are relatively prime. T. Varkey conjectured that ladder graphs have a prime labeling. We prove this conjecture.

研究动机与目标

• 解决关于所有梯形图均具有素数标记（即相邻顶点标记为互素整数）的猜想。
• 将素数标记的理解从树及其他已知图类扩展至梯形图。
• 为任意大小的梯形图提供一种构造性方法以生成素数标记。
• 验证每个 2×n 网格（梯形图）均可被标记，使得所有相邻顶点对的标签互素。
• 建立一种通用标记方案，确保梯形图每个 2×2 子网格中的交叉条件均被满足。

提出的方法

• 定义 $ a_k = 6k - 3 $ 和 $ b_k = 6k - 1 $ 作为梯形图顶点的基底标签，以利用等差数列中互素性质。
• 利用模 5 和模 7 的条件，识别出可插入至现有标签之间的特殊整数 $ c_\rho = a_\rho - 2 $ 和 $ 6\ell + 1 $，以维持互素性。
• 根据模约束，将整数 $ c_\ell $ 和 $ 6\ell + 1 $ 插入到 $ a_\ell $ 与 $ a_{\ell+1} $ 或 $ b_\ell $ 与 $ b_{\ell+1} $ 之间，以满足交叉条件。
• 应用恒等式 $ \gcd(u,v) = \gcd(u, v + uh) $ 验证插入的标签与邻接顶点保持互素。
• 在 $ a_1 $ 和 $ b_1 $ 之间插入数字 7 以修正初始方格，确保交叉条件在起点成立。
• 最后，在任意两个顶点之间插入标签 1 以完成标记，因为 1 与所有整数互素。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有梯形图是否都具有素数标记，即相邻顶点标记为互素整数？
• RQ2 能否设计一种系统性标记构造方法，以确保梯形图每个 2×2 子网格中的交叉条件均被满足？
• RQ3 对整数的何种模约束可实现安全插入，而不会破坏互素性？
• RQ4 如何通过等差数列和数论条件，将标记方法扩展至所有梯形图大小，包括较大的 $ n $？
• RQ5 是否可以通过在基底标记上通过战略性插入特定整数，构造出梯形图的素数标记？

主要发现

• 本文确认所有梯形图均具有素数标记，从而证明了 Varkey 等人提出的猜想。
• 构造了一种标记方案，使得梯形图中每个 2×2 方格均满足交叉条件，即所有四对对角顶点均互素。
• 该构造使用形如 $ a_k = 6k - 3 $、$ b_k = 6k - 1 $ 的整数，以及基于模 5 和模 7 条件的 $ c_\ell = a_\ell - 2 $ 和 $ 6\ell + 1 $ 的特殊插入。
• 整数集合 $ C $ 仅在 $ n \geq 73 $ 时非空，且仅在满足模条件时才插入，以保持互素性。
• 数字 7 插入在 $ a_1 $ 和 $ b_1 $ 之间以修正初始方格，标签 1 插入末端以完成标记。
• 该方法确保最终标记的梯形图中所有相邻顶点对均互素，从而实现有效的素数标记。