[论文解读] Primes and almost primes between cubes

Daniel R. Johnston, Simon N. Thomas+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2026

Analytic Number Theory Research被引用 0

一句话总结

该论文通过大量计算与筛法证明，对所有 n^3 至 (n+1)^3 之间存在素数，且在此区间内存在至多两个素因子的数；并讨论Mill’s 函数的推论。

ABSTRACT

In this paper we study the problem of detecting prime numbers between all consecutive cubes. Firstly, we use a large computation to show that there is always a prime between $n^3$ and $(n+1)^3$ for $n^3\leq 1.649\cdot 10^{40}$. In addition, we use this computation and a sieve-theoretic argument to show that there exists a number with at most 2 prime factors (counting multiplicity) between $n^3$ and $(n+1)^3$ for all $n\geq 1$. Our sieving argument uses a logarithmic weighting procedure attributed to Richert, which yields significant numerical improvements over previous approaches.

研究动机与目标

• 在大范围已计算的区间内无条件地研究相邻立方数之间是否存在素数。
• 扩展筛法以在同一区间检测近似素数（Ω(a) ≤ 2）。
• 利用 Richert 的对数加权优化筛选并获得明确的数值结果。
• 展示在短区间内进行素性检测的计算极限与资源需求。

提出的方法

• 采用筛理论框架，在区间 (n^3, (n+1)^3) 内筛选素数与近似素数的整数。
• 使用显式线性筛界（Bordignon–Starichova–Danzer）并以乘法函数 g(d)=1/d 来界定筛出集。
• 应用 Richert 的对数加权将筛函数与 Ω(a) ≤ k 的计数相关联（此处 k=2）。
• 利用大规模计算，改编先前的立方区间算法以适用于区间 (n^3, (n+1)^3)，在筛出候选项中进行素性检测时采用 BLS 质数测试。
• 给出明确的参数范围（如 z、y、p 边界）与误差项，以确保筛框架内的严格下界/上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有 n 满足 n^3 ≤ 1.649×10^40 的计算界限，是否在 n^3 与 (n+1)^3 之间存在素数？
• RQ2 在所有 n≥1 的区间 (n^3, (n+1)^3) 中，是否存在至多两个素因子的整数（Ω(a) ≤ 2）？
• RQ3 Richert 的对数筛权重在此立方区间设置中相对于以往方法在数值界上能提升到何种程度？
• RQ4 要在更大程度上无条件地扩展素数在立方区间中的结果，实际的计算限度与资源需求是什么？
• RQ5 在同一区间框架下，计算结果与 Mill’s 产生素数的函数之间的关系如何？

主要发现

• 通过大规模计算，在所有 n^3 ≤ 1.649×10^40 的区间中存在素数。
• 在所有 n ≥ 1 的区间 (n^3, (n+1)^3) 内存在至多 2 个素因子的数（Ω(a) ≤ 2），这是利用 Richert 的对数筛权重证明的。
• Richert 的权重在此情境下比 Kuhn 的简单加权给出显著更好的数值结果，使得 Ω(a) ≤ 2 的结论成立，而 Kuhn 的方法不足以达到该结论。
• 将 2-近似素数的结果应用于 Mill’s 素数表示函数的近似形式，表明对于所有 n≥1（常数 A 为 Mill’s 常数），floor(A^{3^n}) 至多有两个素因子。
• 该方法也揭示了局限性：若要提升到素数（Ω(a)=1），需要更强的显式筛工具，而现阶段尚未建立。