[论文解读] Principal bundle structure of matrix manifolds

Billaud-Friess, Marie, Antonio Falcó+1 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2017

Advanced Topics in Algebra参考文献 15被引用 1

一句话总结

本文提出了一种针对固定秩矩阵流形的新型几何框架，通过在集合 $ M_r(\mathbb{R}^{n\times m}) $ 上赋予其一个解析主丛结构，利用直接基于流形本身的局部坐标系系统，确保矩阵表示的唯一性。其核心贡献是在 $ \mathbb{R}^{n\times m} $ 上定义了一种不同于标准矩阵范数拓扑的新拓扑，使得矩阵秩在此拓扑下连续，并且矩阵的邻域自然继承李群结构。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a new geometric description of the manifolds of matrices of fixed rank. The starting point is a geometric description of the Grassmann manifold $\mathbb{G}_r(\mathbb{R}^k)$ of linear subspaces of dimension $r<k$ in $\mathbb{R}^k$ which avoids the use of equivalence classes. The set $\mathbb{G}_r(\mathbb{R}^k)$ is equipped with an atlas which provides it with the structure of an analytic manifold modelled on $\mathbb{R}^{(k-r) imes r}$. Then we define an atlas for the set $\mathcal{M}_r(\mathbb{R}^{k imes r})$ of full rank matrices and prove that the resulting manifold is an analytic principal bundle with base $\mathbb{G}_r(\mathbb{R}^k)$ and typical fibre $\mathrm{GL}_r$, the general linear group of invertible matrices in $\mathbb{R}^{k imes k}$. Finally, we define an atlas for the set $\mathcal{M}_r(\mathbb{R}^{n imes m})$ of non-full rank matrices and prove that the resulting manifold is an analytic principal bundle with base $\mathbb{G}_r(\mathbb{R}^n) imes \mathbb{G}_r(\mathbb{R}^m)$ and typical fibre $\mathrm{GL}_r$. The atlas of $\mathcal{M}_r(\mathbb{R}^{n imes m})$ is indexed on the manifold itself, which allows a natural definition of a neighbourhood for a given matrix, this neighbourhood being proved to possess the structure of a Lie group. Moreover, the set $\mathcal{M}_r(\mathbb{R}^{n imes m})$ equipped with the topology induced by the atlas is proven to be an embedded submanifold of the matrix space $\mathbb{R}^{n imes m}$ equipped with the subspace topology. The proposed geometric description then results in a description of the matrix space $\mathbb{R}^{n imes m}$, seen as the union of manifolds $\mathcal{M}_r(\mathbb{R}^{n imes m})$, as an analytic manifold equipped with a topology for which the matrix rank is a continuous map.

研究动机与目标

• 开发一种不依赖等价类与标准黎曼嵌入的固定秩矩阵流形的几何描述。
• 通过基于局部坐标的构造引入新拓扑，解决标准拓扑 $ \tau_{\mathbb{R}^{n\times m}} $ 下矩阵秩的不连续性问题。
• 利用以流形本身为索引的局部坐标系，基于 $ Z = U G V^T $ 形式，为 $ M_r(\mathbb{R}^{n\times m}) $ 中的矩阵提供自然且唯一的参数化。
• 证明在新拓扑下，集合 $ M_r(\mathbb{R}^{n\times m}) $ 是 $ \mathbb{R}^{n\times m} $ 的嵌入解析子流形。
• 证明 $ M_r(\mathbb{R}^{n\times m}) $ 中矩阵的邻域自然具备与流形几何相容的李群结构，从而在局部坐标下支持群运算。

提出的方法

• 利用正交补空间定义格拉斯曼流形 $ \mathrm{Gr}(\mathbb{R}^k) $ 的图册，将其模型化为 $ \mathbb{R}^{(k-r)\times r} $，避免使用等价类。
• 在 $ Z = U G V^T $ 处构造 $ M_r(\mathbb{R}^{n\times m}) $ 的局部坐标 $ \theta_Z $，映射至 $ \mathbb{R}^{(n-r)\times r} \times \mathbb{R}^{(m-r)\times r} \times \mathrm{GL}_r $，使用正交投影算子 $ U_\perp, V_\perp $。
• 通过过渡映射为解析微分同胚，证明 $ M_r(\mathbb{R}^{n\times m}) $ 是以 $ \mathrm{Gr}(\mathbb{R}^n) \times \mathrm{Gr}(\mathbb{R}^m) $ 为基空间、纤维为 $ \mathrm{GL}_r $ 的解析主丛。
• 通过定义群运算 $ \star_Z $ 于邻域 $ U_Z $ 上：$ \theta_Z^{-1}(X,Y,G) \star_Z \theta_Z^{-1}(X',Y',G') = \theta_Z^{-1}(X+X', Y+Y', GG') $，使得 $ U_Z $ 成为李群。
• 利用反函数定理，证明在新拓扑 $ \tau_{B_{n,m,r}} $ 下，包含映射 $ i: M_r(\mathbb{R}^{n\times m}) \to \mathbb{R}^{n\times m} $ 是拓扑嵌入。
• 显式推导切映射 $ T_Z i $ 为 $ \dot{Z} = U_\perp \dot{X} G V^T + U G (V_\perp \dot{Y})^T + U \dot{G} V^T $，并证明其为线性同构，且给出显式逆映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为固定秩矩阵集合 $ M_r(\mathbb{R}^{n\times m}) $ 赋予一种避免使用等价类并确保局部参数化唯一的几何结构？
• RQ2 所提出的图册是否在 $ \mathbb{R}^{n\times m} $ 上诱导出一种使矩阵秩映射连续的新拓扑？
• RQ3 能否自然地为 $ M_r(\mathbb{R}^{n\times m}) $ 中矩阵的邻域 $ U_Z $ 赋予与流形几何相容的李群结构？
• RQ4 在图册诱导的拓扑下，$ M_r(\mathbb{R}^{n\times m}) $ 到 $ \mathbb{R}^{n\times m} $ 的包含映射是否为拓扑嵌入？
• RQ5 在 $ Z = U G V^T $ 处的切空间如何分解？其与 $ \mathbb{R}^{(n-r)\times r} \times \mathbb{R}^{(m-r)\times r} \times \mathbb{R}^{r\times r} $ 的线性同构关系能否显式刻画？

主要发现

• 格拉斯曼流形 $ \mathrm{Gr}(\mathbb{R}^k) $ 被赋予一种基于 $ \mathbb{R}^{(k-r)\times r} $ 的新解析流形结构，且不依赖等价类。
• $ M_r(\mathbb{R}^{n\times m}) $ 被证明是基空间为 $ \mathrm{Gr}(\mathbb{R}^n) \times \mathrm{Gr}(\mathbb{R}^m) $、纤维为 $ \mathrm{GL}_r $ 的解析主丛，其坐标系直接基于流形本身。
• 在图册诱导的拓扑 $ \tau_{B_{n,m,r}} $ 下，包含映射 $ i: M_r(\mathbb{R}^{n\times m}) \to \mathbb{R}^{n\times m} $ 是拓扑嵌入，使得 $ M_r(\mathbb{R}^{n\times m}) $ 成为 $ \mathbb{R}^{n\times m} $ 的嵌入子流形。
• 在 $ Z = U G V^T $ 处的切映射 $ T_Z i $ 是线性同构，其逆映射为 $ (T_Z i)^{-1}(\dot{Z}) = (U_\perp^+ \dot{Z} (V_+)^T G^{-1}, V_\perp^+ \dot{Z}^T (U_+)^T G^{-T}, U_+ \dot{Z} (V_+)^T) $。
• 邻域 $ U_Z $ 与 $ \mathbb{R}^{(n-r)\times r} \times \mathbb{R}^{(m-r)\times r} \times \mathrm{GL}_r $ 微分同胚，并通过运算 $ \star_Z $ 自然继承李群结构。
• 映射 $ \eta_Z: U_Z \to \mathrm{GL}_r \times \mathrm{GL}_r \times \mathrm{GL}_r $ 定义为 $ \eta_Z(\theta_Z^{-1}(X,Y,H)) = (\exp(U_\perp X U^+), \exp(V_\perp Y V^+), H) $，是李群同构，从而确认 $ U_Z $ 上的李群结构。