[论文解读] Prior Distributions for the Bradley-Terry Model of Paired Comparisons

J. T. Whelan|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2017

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文提出了配对比较中Bradley-Terry模型的先验分布并进行评估，聚焦于团队实力评分的贝叶斯推断。它识别出两种单参数、独立的对数实力先验——正态分布和Type III广义逻辑斯蒂分布——满足关键期望特性：在队伍互换下不变性、胜败对称性、可归一化性，以及在移除队伍后的不变性。

ABSTRACT

The Bradley-Terry model assigns probabilities for the outcome of paired comparison experiments based on strength parameters associated with the objects being compared. We consider different proposed choices of prior parameter distributions for Bayesian inference of the strength parameters based on the paired comparison results. We evaluate them according to four desiderata motivated by the use of inferred Bradley-Terry parameters to rate teams on the basis of outcomes of a set of games: invariance under interchange of teams, invariance under interchange of winning and losing, normalizability and invariance under elimination of teams. We consider various proposals which fail to satisfy one or more of these desiderata, and illustrate two proposals which satisfy them. Both are one-parameter independent distributions for the logarithms of the team strengths: 1) Gaussian and 2) Type III generalized logistic.

研究动机与目标

• 为基于比赛结果的团队评分系统中的Bradley-Terry模型识别适合贝叶斯推断的先验分布。
• 根据四个关键期望特性评估现有先验：在队伍互换下的不变性、胜败互换下的不变性、可归一化性，以及在移除队伍后的不变性。
• 证明常用先验（如Haldane、Jeffreys、狄利克雷分布及共轭先验）中至少有一项不满足这些期望特性。
• 提出并验证两类对数实力上的先验族（正态分布和Type III广义逻辑斯蒂分布），使其满足全部四项期望特性。
• 表明这些先验可实现一致、不变且正则化的配对比较模型推断，适用于体育或排序应用场景。

提出的方法

• 在团队对数实力 $\lambda_i = \ln \pi_i$ 上提出独立先验分布，确保在队伍互换下不变性以及胜败对称性。
• 使用变换 $\theta_{ij} = (1 + e^{-\gamma_{ij}})^{-1}$，其中 $\gamma_{ij} = \lambda_i - \lambda_j$，将Bradley-Terry模型表示为对数胜率比的形式。
• 应用雅可比变换推导 $\boldsymbol{\gamma}$ 上的先验密度，确保在 $\boldsymbol{\gamma}$ 的不同基底下保持等价性。
• 考虑可分先验，其中 $f_{\boldsymbol{\Lambda}}(\boldsymbol{\lambda}|I) = \prod_{i=1}^t f_{\Lambda_i}(\lambda_i|I)$，这保证了在移除队伍后的不变性。
• 通过 $\zeta_i = (1 + e^{-\lambda_i})^{-1}$ 分析Beta可分先验族，导出Type IV广义逻辑斯蒂先验，并在 $\alpha_i = \beta_i = \eta$ 时退化为Type III。
• 证明后验等价于在中性队伍上增加 $\eta$ 场虚构胜负，从而与频率学方法建立联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 Bradley-Terry模型中团队实力的哪些先验分布满足在队伍互换和胜败互换下的不变性？
• RQ2 是否可以构建一种先验，使其在从模型中移除无关队伍后仍保持有效且可归一化？
• RQ3 为何标准先验（如Haldane、Jeffreys或狄利克雷先验）在团队评分应用中不满足期望特性？
• RQ4 如何设计一个单参数的对数实力先验族，以保持对称性和不变性，同时保持可归一化？
• RQ5 所提出的先验与最大后验估计中虚构比赛之间存在何种关联？

主要发现

• Haldane先验不可归一化，尽管满足其余三项期望特性，但违反了可归一化性要求。
• Jeffreys先验和Davidson与Solomon的共轭先验依赖于队伍总数，违反了在移除队伍后的不变性。
• 对实力采用狄利克雷先验时，不满足胜败对称性，因其不尊重变换 $\theta_{ij} \leftrightarrow 1 - \theta_{ij}$。
• 对数实力上独立的正态先验满足全部四项期望特性，且等价于具有单一尺度参数的层次化模型。
• 由对称的Beta(η,η)先验导出的对数实力上Type III广义逻辑斯蒂先验，同样满足所有期望特性，且具有解析可处理性。
• 正态分布和Type III广义逻辑斯蒂先验均允许后验被解释为实际比赛结果加上对中性队伍的 $\eta$ 场虚构胜负，从而可直接应用频率学估计方法。