[论文解读] Privacy preserving clustering with constraints

Clemens Rösner, Melanie Schmidt|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2018

Data Management and Algorithms被引用 27

一句话总结

本文提出一种通用方法，将隐私约束（要求每个聚类至少包含 ℓ 个点）整合到现有约束 k-中心问题的近似算法中。通过使用阈值化和最大流网络构建，迭代重新分配点以保持近似保证，作者实现了私有 k-中心的 4-近似和 k-供应商的 5-近似，并扩展至包含异常值、公平性和容量约束的组合情形。

ABSTRACT

The $k$-center problem is a classical combinatorial optimization problem which asks to find $k$ centers such that the maximum distance of any input point in a set $P$ to its assigned center is minimized. The problem allows for elegant $2$-approximations. However, the situation becomes significantly more difficult when constraints are added to the problem. We raise the question whether general methods can be derived to turn an approximation algorithm for a clustering problem with some constraints into an approximation algorithm that respects one constraint more. Our constraint of choice is privacy: Here, we are asked to only open a center when at least $\ell$ clients will be assigned to it. We show how to combine privacy with several other constraints.

研究动机与目标

• 本文旨在开发一种通用的、黑箱式方法，将隐私约束（每个聚类至少 ℓ 个点）添加至现有约束 k-中心问题的近似算法中。
• 该研究解决了将下界隐私（每个聚类中至少 ℓ 个点）与异常值、公平性及容量限制等其他约束相结合的挑战。
• 目标是在确保所有聚类满足隐私阈值的同时，保持底层算法的近似比。
• 该方法对基础近似算法的内部机制保持透明，可模块化地扩展至多种聚类变体。
• 作者还探讨了将隐私约束扩展至设施选址和 k-中位问题的可能性，并指出了在更广泛应用中面临的开放挑战。

提出的方法

• 该方法采用阈值化框架，测试递增的 τ 值（候选半径），以找到最小可行解。
• 对于每个阈值 τ，算法首先在基础问题（如含异常值或公平性的 k-中心）上运行 α-近似算法，生成初始聚类。
• 针对每个受保护特征（颜色）i，构建一个特定颜色的阈值图 Gτ,i，用于建模潜在的重新分配以满足 ℓi 下限要求。
• 在每个 Gτ,i 上计算整数最大 s-t 流，以识别符合隐私约束的可行点重新分配。
• 若流未完全饱和所有 (vj, t) 边（表明某些聚类中颜色 i 的点不足），则残余网络可识别出在当前聚类数量下无法覆盖的点子集。
• 算法递归地在该子集上使用基础算法重新计算聚类，减少聚类数量，并迭代直至找到可行且满足隐私要求的解，或确定 τ < opt。
• 该过程最多在 k 次迭代内终止，确保多项式时间复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种通用的、黑箱式方法，将隐私约束（每个聚类至少 ℓ 个点）添加至现有约束 k-中心问题的近似算法中？
• RQ2 在 k-中心问题中，将隐私约束与异常值、公平性和容量限制等其他约束结合时，可达到的近似比是多少？
• RQ3 该方法能否扩展至具有多个受保护特征（强隐私 k-中心）的 k-中心问题，其中每个聚类必须包含至少 ℓi 个颜色 i 的点？
• RQ4 能否将同一框架应用于设施选址和 k-中位问题？此类扩展中存在哪些限制？
• RQ5 是否可以在无 ℓ ≤ u(c)/2 对所有中心 c 成立的限制下，将隐私约束添加至容量受限的设施选址问题？

主要发现

• 该方法实现了私有 k-中心问题的 4-近似，以及 k-供应商变体的 5-近似。
• 对于含异常值的私有 k-中心，算法实现了 5-近似（k-中心为 4-近似），与无约束问题的最佳已知界限一致。
• 该方法可扩展至公平 k-中心和公平容量 k-中心，所有情况下均实现 4-近似。
• 该方法可应用于强隐私 k-中心问题，其中每个聚类必须包含至少 ℓi 个颜色 i 的点，k-中心为 4-近似，k-供应商为 5-近似。
• 该算法保证在 O(k) 次迭代内终止，确保多项式时间复杂度。
• 该框架具有通用性，可应用于任何 α-近似算法求解基础问题，且近似比最多损失因子 α + 2。