[论文解读] Proatomic modular ortholattices: Representation and equational theory

Christian Herrmann, Michael Roddy|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2015

Advanced Algebra and Logic参考文献 34被引用 9

一句话总结

本文引入了由有限维模正交补格（MOLs）生成的一类格——拟原子模正交补格（proatomic modular ortholattices, MOLs），并建立了其与具有原子扩张的格及几何表示之间的等价性。主要贡献在于提出一个特征化定理，表明拟原子MOLs正是那些可实现几何表示或具有原子MOL扩张的格，该结果基于Bruns与Roddy的正交蕴含与MOL构造技术。

ABSTRACT

We study modular ortholattices in the variety generated by the finite dimensional ones from an equational and geometric point of view. We relate this to coordinatization results.

研究动机与目标

• 对由有限维MOLs生成的模正交补格种类进行特征化，引入‘拟原子’MOLs的概念。
• 建立拟原子MOLs、具有原子MOL扩张的MOLs以及可实现几何表示的MOLs之间的等价性。
• 探讨MOLs的方程结构与几何结构，特别是其与坐标化及格种类的关系。
• 研究正交框架与可透视性在单支不可约与可表示MOLs中的作用。
• 通过格论表示方法，将理论与$*$-正则环及冯·诺依曼代数相联系。

提出的方法

• 采用Bruns与Roddy的MOL构造方法，以生成并分析拟原子MOLs。
• 运用Herrmann与Roddy的正交蕴含概念，分析MOLs中的蕴含关系与同余关系。
• 应用Frink嵌入与Jónsson保持定理，关联格恒等式与方程闭包。
• 通过最小同余与可透视性关系分析单支不可约MOLs。
• 构造由正交3-框架生成的任意有限与无限高度的拟原子MOLs示例。
• 利用格同余与中性理想刻画该种类及其子种类。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有由有限维MOLs生成的模正交补格（即拟原子MOLs）是否都可通过存在原子扩张来表征？
• RQ2 每个拟原子MOL是否都能在具有非退化对称极性的射影空间中实现几何表示？
• RQ3 每个连续的、可数完备的MOL是否都是拟原子的？它是否属于由有限维MOLs生成的拟种类？
• RQ4 每个阿格斯蒂安（Arguesian）拟原子MOL是否都能通过具有正交基的空间实现表示？
• RQ5 是否存在高度≥3的单支不可约可坐标化MOLs，其缺乏正交大部分n-框架？

主要发现

• 三个性质——拟原子性、存在原子MOL扩张、具有几何表示——的等价性定义了拟原子MOLs的类。
• 对于所有有限与无限高度，由正交3-框架生成的单支不可约拟原子MOLs均存在。
• 由有限维MOLs生成的种类对子代数与积封闭，且其公理化由Frink嵌入下保持的恒等式所决定。
• 每个具有最小同余的补模格均生成一个有限单支不可约格，其同余交集非平凡。
• 几何表示的存在性意味着该格满足阿格斯蒂安律，并在特定框架条件下可实现坐标化。
• 对于$*$-正则环，若其主右理想格为拟原子且存在正交大部n-框架，则该环为单位正则。