[论文解读] Probabilistic reachable and invariant sets for linear systems with correlated disturbance

Mirko Fiacchini, Teodoro Álamo|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2020

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 33被引用 11

一句话总结

本文提出了一种基于凸优化的方法，用于计算具有时序相关随机扰动的线性离散时间系统的概率可达集和不变集。通过引入一种新型的“相关性界”以捕捉协方差矩阵与相关性矩阵的有界性，该方法能够在不假设扰动序列独立或平稳的前提下，实现对概率集的外逼近。

ABSTRACT

In this paper a constructive method to determine and compute probabilistic reachable and invariant sets for linear discrete-time systems, excited by a stochastic disturbance, is presented. The samples of the disturbance signal are not assumed to be uncorrelated, only a bound on the correlation matrices is supposed to be known. The concept of correlation bound is introduced and employed to determine probabilistic reachable sets and probabilistic invariant sets. Constructive methods for their computation, based on convex optimization, are given.

研究动机与目标

• 解决在扰动具有时序相关性时，缺乏计算概率可达集与不变集方法的问题，这是随机控制中常见但常被忽视的情形。
• 克服现有方法仅假设扰动不相关或独立的局限性，而这种假设在实际系统中往往不现实。
• 提供一种构造性方法，仅基于相关性矩阵的有界信息，计算概率可达集与不变集的外边界，而无需完整掌握扰动分布。
• 使这些集合可用于随机模型预测控制（SMPC），以确保机会约束、递归可行性与稳定性，并提供概率保证。
• 通过引入新的相关性界概念，将现有关于概率不变性的结果推广至相关扰动的情形。

提出的方法

• 将‘相关性界’Γw 定义为一个矩阵，用于有界状态与扰动序列之间的期望互相关性，其满足涉及系统矩阵A的递归不等式。
• 将相关性界条件表述为一个线性矩阵不等式（LMI），可通过凸优化求解，以获得最紧可能的Γw。
• 利用相关性界构造形式为B(W, ρ)的概率不变椭球，其中W是由Γw与系统动力学导出的正定矩阵。
• 利用卡方分布将大小参数ρ与期望的违反概率pv关联，确保状态违反的概率被控制在pv以内。
• 通过将不变椭球作为终端约束，将概率可达集构造为从初始集出发的状态轨迹的并集。
• 利用凸优化计算满足相关性界下概率不变性条件的最小可能不变椭球。

实验结果

研究问题

• RQ1 当扰动序列具有时序相关性而非i.i.d.时，如何计算线性系统的概率可达集与不变集？
• RQ2 何种数学表征可有效刻画扰动中的时序相关性，从而实现概率集的构造性计算？
• RQ3 能否构建一个凸优化框架，在仅掌握相关性矩阵部分信息的条件下，计算概率可达集与不变集的外逼近？
• RQ4 如何确保所得集合在不假设扰动独立或平稳的前提下，满足期望的违反概率？
• RQ5 相关性界与所得概率不变椭球的大小之间存在何种关系？

主要发现

• 所提出的相关性界概念可在一般时序相关扰动下表征概率可达集与不变集，且无需假设独立性或平稳性。
• 该方法通过凸优化计算概率不变椭球，椭球大小由涉及相关性界的LMI解确定。
• 对于给定的违反概率pv，该方法确保不变集的状态违反概率被控制在pv以内，经1000个初始状态的蒙特卡洛仿真验证。
• 数值示例表明，即使在相关扰动下，该方法也能在100个时间步内将违反频率成功控制在期望概率水平（如10%、20%、...、50%）内。
• 该方法对模型不确定性具有鲁棒性：相关性界仅基于协方差与相关性矩阵的有界信息计算，无需完整分布知识。
• 该方法适用于衰减型与恒定型扰动场景，通过两个不同α与β参数的数值案例得到验证。