[论文解读] Probability distributions with binomial moments

Wojciech Młotkowski, K. A. Penson|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2013

Random Matrices and Applications参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文确定了二项式序列 $\binom{np+r}{n}$ 为正定且对应于概率测度 $\nu(p,r)$ 的条件，证明当 $p \geq 1$ 且 $-1 \leq r \leq p-1$ 时，这些序列是紧支集概率测度的矩序列。关键结果是对此类二项式序列正定性的完整刻画，当 $p > 1$ 为有理数且 $-1 < r \leq p-1$ 时，显式给出了以梅杰 G-函数表示的密度函数表达式，并识别出 $\nu(p,-1)$ 和 $\nu(p,0)$ 为伯努利分布的自由卷积幂。

ABSTRACT

We prove that if $p\geq 1$ and $-1\leq r\leq p-1$ then the binomial sequence $\binom{np+r}{n}$, $n=0,1,...$, is positive definite and is the moment sequence of a probability measure $ν(p,r)$, whose support is contained in $\left[0,p^p(p-1)^{1-p} ight]$. If $p&gt;1$ is a rational number and $-11$ the measures $ν(p,-1)$ and $ν(p,0)$ are certain free convolution powers of the Bernoulli distribution. Finally we prove that the binomial sequence $\binom{np+r}{n}$ is positive definite if and only if either $p\geq 1$, $-1\leq r\leq p-1$ or $p\leq 0$, $p-1\leq r \leq 0$. The measures corresponding to the latter case are reflections of the former ones.

研究动机与目标

• 确定二项式序列 $\binom{np+r}{n}$ 为正定的全部参数 $p$ 和 $r$ 范围。
• 刻画相应的概率测度 $\nu(p,r)$，包括其支集和绝对连续性。
• 当 $p > 1$ 为有理数且 $-1 < r \leq p-1$ 时，以特殊函数（特别是梅杰 G-函数）表示这些测度的密度函数 $V_{p,r}$。
• 识别 $\nu(p,-1)$ 和 $\nu(p,0)$ 与伯努利分布自由卷积幂之间的联系。
• 提供所有使二项式序列正定的 $(p,r)$ 对的完整分类，包括 $p \leq 0$ 时的反射对称性。

提出的方法

• 推导生成函数 $\mathcal{D}_{p,r}(z) = \sum_{n=0}^\infty \binom{np+r}{n} z^n$，并建立 $\mathcal{D}_{p,-1}$、$\mathcal{D}_{p,0}$ 和 $\mathcal{D}_{p,p-1}$ 之间的函数关系。
• 利用梅林卷积和广义超几何函数理论，当 $p = k/l > 1$ 为有理数且 $-1 < r \leq p-1$ 时，将密度 $V_{p,r}$ 表示为梅杰 G-函数的线性组合。
• 应用单调卷积和自由概率工具，特别是牧木的单调卷积，证明在给定参数条件下序列的正定性。
• 采用解析延拓和渐近分析，表明当 $r < -1$ 或 $r > p-1$ 时，$V_{p,r}(x) < 0$ 对于小的 $x > 0$ 成立，从而排除这些情形的正定性。
• 利用关系式 $\nu(p,t) = \nu(p,0) \rhd \mu(p,t)$（$t > 0$）将已知情形的正定性传播至其他情形。
• 对 $p=2$、$p=3$ 和 $p=3/2$ 在特定 $r$ 值下给出 $V_{p,r}$ 的显式初等表达式，并通过广义超几何函数推导广义表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些实参数 $p$ 和 $r$，二项式序列 $\binom{np+r}{n}$ 为正定？
• RQ2 当二项式序列 $\binom{np+r}{n}$ 为正定时，其对应的概率测度 $\nu(p,r)$ 的支集和结构是什么？
• RQ3 当 $p > 1$ 为有理数且 $-1 < r \leq p-1$ 时，如何以特殊函数（特别是梅杰 G-函数）表示 $\nu(p,r)$ 的密度函数 $V_{p,r}$？
• RQ4 $\nu(p,-1)$、$\nu(p,0)$ 与伯努利分布的自由卷积幂之间有何关系？
• RQ5 为何即使 $p > 1$ 为有理数，当 $r < -1$ 或 $r > p-1$ 时，序列仍不为正定？

主要发现

• 二项式序列 $\binom{np+r}{n}$ 为正定当且仅当：$p \geq 1$ 且 $-1 \leq r \leq p-1$，或 $p \leq 0$ 且 $p-1 \leq r \leq 0$，后者情形为前者的反射。
• 当 $p \geq 1$ 且 $-1 \leq r \leq p-1$ 时，序列是支集于 $[0, c(p)]$ 的概率测度 $\nu(p,r)$ 的矩序列，其中 $c(p) = p^p / (p-1)^{p-1}$。
• 当 $p > 1$ 为有理数且 $-1 < r \leq p-1$ 时，测度 $\nu(p,r)$ 绝对连续，其密度 $V_{p,r}$ 可表示为梅杰 G-函数，且在特殊情形（如 $p=2$）下 $V_{p,r}$ 为初等函数。
• $\nu(p,-1)$ 和 $\nu(p,0)$ 被识别为伯努利分布的自由卷积幂：$\nu(p,-1) = \text{Bernoulli}^{\boxtimes p}$ 且 $\nu(p,0) = \text{Bernoulli}^{\boxtimes (p-1)}$。
• 当 $p = k/l > 1$ 且 $r < -1$ 或 $r > p-1$ 时，密度 $V_{p,r}(x)$ 在小的 $x > 0$ 处为负，从而破坏正定性。
• 图形说明确认：当 $r < -1$ 或 $r > p-1$ 时，$V_{p,r}(x)$ 在某些区间为负，因此这些情形被排除在正定性区域之外。