[论文解读] Projected Variational Integrators for Degenerate Lagrangian Systems

M. Kraus|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2017

Numerical methods for differential equations参考文献 15被引用 10

一句话总结

本文提出并分析了投影方法，以稳定退化拉格朗日系统（拉格朗日量关于速度为线性）的变分积分器，例如导心动力学和点涡系统。文中引入了对称与辛投影变体，以保持长期稳定性和辛性，其中后者在计算效率方面表现更优，尽管当拉格朗日乘子无界增长时可能存在不稳定性。

ABSTRACT

We propose and compare several projection methods applied to variational integrators for degenerate Lagrangian systems, whose Lagrangian is of the form $L = \vartheta(q) \cdot \dot{q} - H(q)$ and thus linear in velocities. While previous methods for such systems only work reliably in the case of $\vartheta$ being a linear function of $q$, our methods are long-time stable also for systems where $\vartheta$ is a nonlinear function of $q$. We analyse the properties of the resulting algorithms, in particular with respect to the conservation of energy, momentum maps and symplecticity. In numerical experiments, we verify the favourable properties of the projected integrators and demonstrate their excellent long-time fidelity. In particular, we consider a two-dimensional Lotka-Volterra system, planar point vortices with position-dependent circulation and guiding centre dynamics.

研究动机与目标

• 解决变分积分器在拉格朗日量关于速度为线性、且1-形式ϑ(q)为非线性时的不稳定性问题。
• 分析标准、对称与辛投影方法对变分积分器辛性与长期稳定性的影晌。
• 提出一种改进的对称投影方法，以保持广义辛结构，并提升某些系统的稳定性。
• 从能量漂移、收敛性与庞加莱积分不变量保持性等方面，比较不同投影策略的性能。
• 识别辛投影方法因拉格朗日乘子无界而失效的条件，并为未来分析提供方向。

提出的方法

• 本文应用离散纤维导数，将离散欧拉-拉格朗日方程转化为位置-动量形式，从而实现单步数值积分。
• 引入连续纤维导数p = ϑ(q)以初始化共轭动量，该方法对线性ϑ精确，但对非线性ϑ会导致漂移。
• 在每一步之后，应用标准、对称与辛投影方法，将数值解投影回约束子流形p = ϑ(q)上。
• 提出一种改进的对称投影方法，可在扩展相空间上保持广义辛结构，从而增强稳定性。
• 辛投影方法的设计允许积分器与投影步骤独立计算，从而降低计算成本。
• 数值实验采用高斯-勒让德与高斯-洛巴托龙格-库塔方法，结合投影技术，应用于Lotka-Volterra系统、点涡系统与导心动力学系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 投影方法是否能稳定退化拉格朗日系统中非线性ϑ(q)的变分积分器，超越线性ϑ情况的适用范围？
• RQ2 标准、对称与辛投影方法如何影响所得积分器的辛性？
• RQ3 为何辛投影方法有时因拉格朗日乘子无界而失效？何种条件可防止此现象？
• RQ4 改进的对称投影方法是否在广义意义上保持辛性？其在实际应用中与标准对称投影相比表现如何？
• RQ5 底层积分器的阶数与投影解稳定性之间存在何种关系，特别是在能量漂移方面？

主要发现

• 对称与中点投影方法是唯一在所有测试系统中确保长期稳定性的方法，且对称投影保持了底层积分器的完整阶数。
• 标准投影导致能量漂移并最终引发不稳定性，尤其在高阶积分器中，因约束违反无法控制而加剧。
• 尽管辛投影方法并非精确辛，但其辛性误差可忽略不计，且不损害长期稳定性。
• 辛投影方法在计算效率上优于对称投影，因其允许独立计算积分与投影步骤。
• 尽管未保持精确辛性，对称投影方法表现出可忽略的辛性误差，且不破坏长期稳定性。
• 改进的对称投影方法保持了广义辛结构，在某些情况下表现良好，但当拉格朗日乘子无界增长时会失效，导致不稳定。
• 在辛投影方法稳定的情况下，其在计算效率上优于对称投影，同时保持了相近的精度与稳定性。