[论文解读] Projections and other images of self-similar sets with no separation condition

Ábel Farkas|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 1

一句话总结

本文研究了在未施加分离条件时，自相似集在线性映射下的Hausdorff维数和测度的行为。结果表明，若相似映射正交部分生成的群为有限群，则每个线性像均为图-自相似吸引子，且在某些投影下维数下降；更一般地，维数和测度在该群的闭包下保持不变，且不相交子集的像的交集的测度为零。

ABSTRACT

We investigate how the Hausdorff dimension and measure of a self-similar set $K\subseteq\mathbb{R}^{d}$ behave under linear images. This depends on the nature of the group $\mathcal{T}$ generated by the orthogonal parts of the defining maps of $K$. We show that if $\mathcal{T}$ is finite then every linear image of $K$ is a graph directed attractor and there exists at least one projection of $K$ such that the dimension drops under the image of the projection. In general, with no restrictions on $\mathcal{T}$ we establish that $\mathcal{H}^{t}(L\circ O(K))=\mathcal{H}^{t}(L(K))$ for every element $O$ of the closure of $\mathcal{T}$, where $L$ is a linear map and $t=\dim_{H}K$. We also prove that for disjoint subsets $A$ and extbf{$B$} of $K$ we have that $\mathcal{H}^{t}(L(A)\cap L(B))=0$. Hochman and Shmerkin showed that if $\mathcal{T}$ is dense in $SO(d,\mathbb{R})$ and the strong separation condition is satisfied then $\dim_{H}(g(K))=\min\{\dim_{H}K,l\} $ where $g$ is a continuously differentiable map of rank $l$. We deduce the same result without any separation condition and we generalize a result of Ero$\breve{\mathrm{g}}$lu by obtaining that $\mathcal{H}^{t}(g(K))=0$.

研究动机与目标

• 在不假设分离条件的情况下，理解自相似集的Hausdorff维数和测度在上线性映射下的变换方式。
• 分析由相似映射正交部分生成的群在决定投影和像行为中的作用。
• 通过去除强分离条件，推广Hochman与Shmerkin以及Eroğılu的结果。
• 建立在上线性映射下，不相交子集的像的交集的测度为零。

提出的方法

• 分析定义自相似集 $K$ 的相似映射正交部分生成的群 $\mathcal{T}$。
• 利用 $\mathcal{T}$ 的闭包，证明 $\mathcal{H}^t$-测度在与 $\overline{\mathcal{T}}$ 中元素复合的线性映射下保持不变。
• 证明若 $\mathcal{T}$ 为有限群，则 $K$ 的每个线性像均为图-自相似吸引子。
• 建立 $\mathcal{H}^t(L \circ O(K)) = \mathcal{H}^t(L(K))$ 对所有 $O \in \overline{\mathcal{T}}$ 成立，其中 $t = \dim_H K$。
• 应用当 $\mathcal{T}$ 为有限群时，投影下维数下降的结果。
• 使用测度论论证，证明对不相交子集 $A, B \subset K$，有 $\mathcal{H}^t(L(A) \cap L(B)) = 0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当不满足分离条件时，自相似集的Hausdorff维数在上线性投影下如何变化？
• RQ2 由相似映射正交部分生成的群 $\mathcal{T}$ 在决定线性像行为中起什么作用？
• RQ3 Hochman与Shmerkin关于在秩为 $l$ 的 $C^1$ 映射下维数下降的结果，能否推广到无强分离条件的自相似集？
• RQ4 在何种条件下，$t$-维Hausdorff测度在与 $\overline{\mathcal{T}}$ 中元素复合的线性映射下保持不变？
• RQ5 在何种条件下，线性映射下 $K$ 的不相交子集的像的交集关于 $\mathcal{H}^t$ 为零？

主要发现

• 若由正交部分生成的群 $\mathcal{T}$ 为有限群，则 $K$ 的每个线性像均为图-自相似吸引子。
• 存在至少一个投影使得 $K$ 的Hausdorff维数下降。
• 对任意线性映射 $L$ 和任意 $O \in \overline{\mathcal{T}}$，有 $\mathcal{H}^t(L \circ O(K)) = \mathcal{H}^t(L(K))$，其中 $t = \dim_H K$。
• 对任意不相交子集 $A$ 与 $B$，有 $\mathcal{H}^t(L(A) \cap L(B)) = 0$。
• Hochman与Shmerkin关于在 $C^1$ 映射下维数下降的结果，推广到了无强分离条件的情形。
• Eroğılu关于 $\mathcal{H}^t(g(K)) = 0$ 的结果，推广到了无任何分离条件的设定。