[论文解读] Projective structures and neighborhoods of rational curves

Maycol Falla Luza, Frank Loray|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 20被引用 8

一句话总结

本文建立了曲面上局部全纯射影结构与自交数为+1的有理曲线邻域之间的对偶性，表明此类邻域对应于Painlevé方程的解。通过叶层理论、形变理论和接触几何，作者对这些结构进行了分类，推导出标准形式，并证明在一般情况下，此类邻域不包含非平凡的亚纯函数，从而为Painlevé方程及其几何起源提供了新的超越性洞见。

ABSTRACT

We investigate the duality between local (complex analytic) projective structures on surfaces and two dimensional (complex analytic) neighborhoods of rational curves having self-intersection +1. We study the analytic classification, existence of normal forms, pencil/fibration decomposition, infinitesimal symmetries. We deduce some transcendental result about Painlev'e equations.

研究动机与目标

• 建立复曲面中关于有理曲线的(+1)-邻域芽与局部全纯射影结构之间的一一对应关系。
• 利用形变理论与叶层技术对这些邻域的解析类型进行分类。
• 研究这些几何结构中标准形式与对称性的存在性与结构。
• 通过其关联曲面探究Painlevé方程解的几何与超越性质。
• 确定在代数维度为1的背景下，此类邻域何时允许存在非平凡亚纯函数。

提出的方法

• 通过形如 $ y'' = A + By' + Cy'^2 + Dy'^3 $ 的二阶常微分方程，利用Cartan的射影结构框架，在射影化切丛上定义测地叶层。
• 应用Kodaira形变理论分析具有法丛 $ \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(1) $ 的有理曲线的局部形变。
• 通过邻域射影化切丛上的Legendrian叶层构造对偶射影结构。
• 运用接触几何与横截纤维化理论，刻画叶层与测地线之间的对偶性。
• 利用Möbius变换与群作用（例如 $ \Gamma $）对形式进行归一化，并在同构意义下对解析类型进行分类。
• 通过分支覆盖将高自交数情形（$ d > 1 $）约化至 $ d = 1 $ 情形，建立与循环群作用的对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 复曲面中关于有理曲线的(+1)-邻域芽的精确解析分类是什么？
• RQ2 横截纤维化的存在性与结构如何与射影结构的线性化相关？
• RQ3 Painlevé方程能否作为此类邻域的对偶射影结构在几何上实现？
• RQ4 在何种条件下，这些邻域允许存在非平凡亚纯函数，特别是当代数维度为1时？
• RQ5 无穷小对称性与自同构在这些结构的分类中起什么作用？

主要发现

• 在局部双全纯同胚意义下，有理曲线的(+1)-邻域芽与 $ (\mathbb{C}^2, 0) $ 上的局部全纯射影结构之间存在一一对应关系。
• 线性（平凡）射影结构对应于 $ \mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(1) $ 中零截面的邻域，或 $ \mathbb{P}^2 $ 中的一条直线，其特征为常微分方程 $ y'' = 0 $。
• 在非线性情形下，至多存在一个点使得通过曲线芽的光滑曲线族存在，表明其具有强烈的非平凡性。
• 对于 $ d > 1 $，$ (d) $-邻域通过 $ d $-重分支覆盖从 $ (+1) $-邻域拉回分类，且存在阶为 $ d $ 的循环群作为固定曲线的自同构。
• 一般(+1)-邻域不包含非平凡亚纯函数，意味着代数维度为零，这与代数维度为一的情形形成对比。
• Painlevé方程的解作为对偶射影结构出现，本文为证明其通常非黎曼性且不具有非平凡亚纯函数迈出了第一步。