[论文解读] Proper metrics on locally compact groups, and proper affine isometric actions on Banach spaces

Uffe Haagerup, Agata Przybyszewska|ArXiv.org|Jun 30, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 13被引用 19

一句话总结

本文证明了每个局部紧致、第二可数的群都存在一个适当的左 invariant 度量（plig 度量），其球体具有指数级控制的增长性，从而在反射性、严格严格凸的巴拿赫空间 $\bigoplus^\infty_{n=1} L^{2n}(G,\mu)$ 上实现一个适当的仿射等距作用（在 $l^2$ 意义下）。关键贡献在于构造了此类群到该巴拿赫空间的统一嵌入，推动了通过几何群论研究粗几何与诺维科夫猜想的进展。

ABSTRACT

In this article it is proved, that every locally compact second countable group has a left invariant metric d, which generates the topology on G, and which is proper, ie. every closed d-bounded set in G is compact. Moreover, we obtain the following extension of a result due to N. Brown and E. Guentner: Every locally compact second countable $G$ admits a proper affine action on the reflexive and strictly convex Banach space $\bigoplus^{\infty}_{n=1} L^{2n}(G, dμ),$ where the direct sum is taken in the $l^2$-sense.

研究动机与目标

• 证明每个局部紧致、第二可数的群都存在一个适当的左 invariant 度量（plig 度量），并生成其拓扑。
• 通过在反射性、严格严格凸的巴拿赫空间上构造适当的仿射等距作用，将布朗与根纳特对离散群的结果推广到一般的局部紧致第二可数群。
• 证明此类群可统一嵌入到巴拿赫空间 $\bigoplus^\infty_{n=1} L^{2n}(G,\mu)$ 中，这对粗几何与诺维科夫猜想至关重要。
• 证明所构造的 plig 度量下，$d$-球体具有指数级控制的增长性，即 $\mu(B_d(e,n)) \leq \beta \cdot e^{\alpha n}$，其中 $\alpha, \beta$ 为常数。
• 提供一个框架，利用几何与泛分析工具，将统一嵌入与粗不变量的结果推广到一般的局部紧致群。

提出的方法

• 在局部紧致、第二可数的群 $G$ 上构造一个左 invariant 度量 $d$，使得闭有界集是紧致的，从而保证 properness。
• 定义一族函数 $\phi_e^n(x) = \max\left(0, 1 - \frac{d(x,e)}{n}\right)$，它们是均匀连续且具有紧支集。
• 利用函数 $\phi_e^n$ 定义一个余胞 $b^n(g) = \lambda(g)\phi_e^n - \phi_e^n$，构成在 $L^{2n}(G,\mu)$ 上的正则表示的 1-余胞。
• 在 $l^2$ 意义下定义巴拿赫空间 $X = \bigoplus^\infty_{n=1} L^{2n}(G,\mu)$，确保其反射性与严格严格凸性。
• 构造仿射作用 $\alpha(g)\xi = \tilde{\lambda}(g)\xi + b(g)$，其中 $b(g) = \oplus b^n(g)$，并验证余胞条件 $b(st) = \tilde{\lambda}(s)b(t) + b(s)$。
• 通过证明当 $d(g,e) \to \infty$ 时有 $||b(g)||_X \to \infty$，来证明该作用的度量 properness，利用哈尔测度在球体上的指数增长控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个局部紧致、第二可数的群是否都存在一个适当的左 invariant 度量，以生成其拓扑？
• RQ2 能否在反射性、严格严格凸的巴拿赫空间上为这些群构造一个适当的仿射等距作用？
• RQ3 这些群是否可统一嵌入到形如 $\bigoplus^\infty_{n=1} L^{2n}(G,\mu)$ 的巴拿赫空间中？
• RQ4 在构造此类嵌入时，$d$-球体的指数增长控制起什么作用？
• RQ5 此类度量与作用的存在性如何与粗不变量及诺维科夫猜想相关联？

主要发现

• 每个局部紧致、第二可数的群都存在一个适当的左 invariant 度量（plig 度量），并生成其拓扑。
• 所构造的 plig 度量满足 $\mu(B_d(e,n)) \leq \beta \cdot e^{\alpha n}$，其中 $\alpha, \beta > 0$，确保哈尔测度在球体上的指数级控制增长。
• 在反射性、严格严格凸的巴拿赫空间 $X = \bigoplus^\infty_{n=1} L^{2n}(G,\mu)$（在 $l^2$ 意义下）上存在一个适当的仿射等距作用。
• 由余胞构造定义的映射 $b: G \to X$ 是一个统一嵌入，满足当 $d(g,h)$ 较大时有 $c_1 \sqrt{d(g,h)} \leq ||b(g) - b(h)||_X \leq c_2 d(g,h)$。
• 该作用是度量 proper 的，因为当 $d(g,e) \to \infty$ 时有 $||b(g)||_X \to \infty$，这源于 $\phi_e^n$ 与 $\phi_g^n$ 在大 $n$ 和 $d(g,e)$ 时具有不相交支集。
• 该构造将布朗与根纳特对离散群的结果推广到所有局部紧致、第二可数的群，提供了向一个可分、严格严格凸的巴拿赫空间的统一嵌入。